数学建模算法学习笔记

作为建模Man学习数学建模时做的笔记

参考文献：
《数学建模姜启源第四版》
网上搜罗来的各种资料，侵删

1.线性预测

levinson durbin算法，自相关什么的，搞不懂

https://max.book118.com/html/2018/1231/8056037133001142.shtm

统计检验量R²（决定系数，接近1为最好）、F（方差统计量，越大越好，R²=1时为无穷，要求远大于临界值，临界值与置信概率α有关，具体查表）、p（p=0.05表示拟合关系有5%是由偶然造成的）、s²（方差）是啥

1.1 简单的线性拟合

找出因变量y和所有自变量x
分析各个自变量对y的图像，决定影响关系是什么函数，然后将其加起来，得到拟合方程,例如下面这个

y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+εy = β_0+β_1x_1+β_2x_2+β_3x_2^2+ε y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ε

ε指随机误差（在计算模型参数的时候一般是忽略的，因为如果模型取得好，随机误差是很小的，满足均值为0的正态分布）

直接用Matlab求出参数的值
检查参数置信区间，如果有包含0的，说明不合理，需要改进
使用残差分析，检查每个自变量与残差的图像分布，结合经验找出需要添加的结合项xixjx_ix_jxixj,添加到拟合方程中
重复以上步骤，直到结果令人满意
如果出现不合理的数据，需要去除

1.2 简单的指数拟合

指数规律有以下两种模型

Michaelis-Menten模型

y=f(x,β)=β1xβ2+xy = f(x,β)=\frac{β_1x}{β_2+x} y=f(x,β)=β2+xβ1x

指数增长模型

y=f(x,β)=β1(1−e−β2x)y = f(x,β) = β_1(1-e^{-β_2x}) y=f(x,β)=β1(1−e−β2x)

其实可以用线性化将非线性模型化为线性模型进行处理，但没必要，详见书本P339

定好模型后直接用matlab算就好

对于模型1来说β1β_1β1指曲线趋近值，β2β_2β2指曲线y一半时对应的x值

此外也可以引入0-1变量建混合模型，例如
y=f(x,β)=(β1+γ1x2)x1(β2+γ2x2)+x1y = f(x,β) = \frac{(β_1+γ_1x_2)x_1}{(β_2+γ_2x_2)+x_1} y=f(x,β)=(β2+γ2x2)+x1(β1+γ1x2)x1

指数模型的判定看的是标准差，R²和s依然可用

改善可看书本P345

1.3 数据自相关

一般按时间序列进行采样的数据都可能会自相关，即前面的数据会对后面的数据有影响。所以对这类数据，先按正常进程进行建模，然后要对自相关性进行诊断，以此决定是否需要对模型进行改进

自相关在模型中一般在随机误差εtε_tεt中表示，如果存在自相关性，则εtε_tεt可如下表示
εt=ρεt−1+utε_t = ρε_{t-1}+u_t εt=ρεt−1+ut

粗看残差之差

将正常建模的残差之差et−et−1e_t-e_{t-1}et−et−1散点图画出，如果能看出是分布于一三象限或者二四象限，则说明具有自相关性

Durbin-Watson检验（D-W检验）

首先得到残差计算DW统计量
DW=∑i=2n(et−et−1)2∑i=2net2DW=\frac{\sum\limits_{i=2}^{n}(e_t-e_{t-1})^2}{\sum\limits_{i=2}^ne_t^2} DW=i=2∑net2i=2∑n(et−et−1)2
当n较大时，可做如下近似
DW≈2(1−∑i=2netet−1∑i=2net2)DW \approx 2(1-\frac{\sum\limits_{i=2}^ne_te_{t-1}}{\sum\limits_{i=2}^{n}e_t^2}) DW≈2(1−i=2∑net2i=2∑netet−1)
∑i=2netet−1∑i=2net2\frac{\sum_{i=2}^ne_te_{t-1}}{\sum_{i=2}^{n}e_t^2}∑i=2net2∑i=2netet−1这个为自相关系数ρρρ的估计值ρ^\hatρρ^,所以
DW≈2(1−ρ^)DW \approx 2(1-\hat{ρ}) DW≈2(1−ρ^)
当算出了DW值之后，就要根据样本容量n和模型的变量数K查D-W分布表，得到dld_ldl和dud_udu的值

https://blog.csdn.net/no1stevewang/article/details/50237049

最后根据下图确定εtε_tεt是否自相关

当我们确定存在自相关性之后，可将ρ^\hat{ρ}ρ^表示如下
ρ^=1−DW2\hat{ρ} = 1-\frac{DW}{2} ρ^=1−2DW
之后做变换（广义差分变换）
yt∗=yt−ρyt−1y_t^* = y_t-ρy_{t-1} yt∗=yt−ρyt−1

xt∗=xt−ρxt−1x_t^* = x_t-ρx_{t-1} xt∗=xt−ρxt−1

β0∗=β0(1−ρ)β_0^*=β_0(1-ρ) β0∗=β0(1−ρ)

就能得到新的，已经考虑了自相关的模型如下（一阶自相关模型）
yt∗=β0∗+β1x1t∗+β2x2t∗+μty_t^*=β^*_0+β_1x_{1t}^*+β_2x_{2t}^*+μ_t yt∗=β0∗+β1x1t∗+β2x2t∗+μt
μtμ_tμt是和一般的εεε一样的随机误差

然后用matlab算这个新的模型就好

算完之后再进行一次自相关性检验，如果还有问题，就再来一遍（可能有其他处理办法）

最后将新模型用上面那个变换换回来，用不带*的符号表示即可

如果DW落在无法确定自相关性的区间，可以设法增加数据量，或者换其他方法

1.4 逐步回归

逐步回归是一种从众多自变量中选取重要变量（对因变量影响大）的方法

matlab有工具可用，原理略

1.5 Y为多分类的情况

例如书本上的冠心病模型，用π(x)\pi(x)π(x)表示在年龄x下患冠心病概率
π(x)=P(Y=1∣x)\pi(x)=P(Y=1|x) π(x)=P(Y=1∣x)
因为从图像可得π(x)\pi(x)π(x)类似于S型曲线，所以采用logit（logistic）模型进行拟合
π(x)=eβ0+β1x1+eβ0+β1x\pi(x) = \frac{e^{β_0+β_1x}}{1+e^{β_0+β_1x}} π(x)=1+eβ0+β1xeβ0+β1x
先写出反函数
lnπ(x)1−π(x)=β0+β1xln\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=β_0+β_1x ln1−π(x)π(x)=β0+β1x
左边这一块就是logit模型了logit(π(x))=lnπ(x)1−π(x)logit(\pi(x))=ln\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}logit(π(x))=ln1−π(x)π(x),当π(x)\pi(x)π(x)在[0,1]取值时，logit(π(x))logit(\pi(x))logit(π(x))的取值为(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞),能弥补线性模型算出来概率超过1的缺点

这个时候，只需要根据数据算出每个x对应的π(x)\pi(x)π(x)，再求出两个参数β0β_0β0和β1β_1β1即可

扔进matlab算就好

可以考虑在右边加入x2x^2x2项，可能可以增加准确度，算出来看p值的变化，变小则更好，否则不用加这一项

处理这种问题还有另一种模型，为probit模型，差不多，详见P363

当变量不止一个时，详见P365

2. 数据预处理

移动平均滤波：用于减少随机干扰对数据采集的影响

此外还要加权移动滤波

快速傅里叶变换（FFT）：用于检测得到的数据中是否有高频噪声，以决定是否使用FIR滤波

使用对数坐标图会使现象更明显

多分类Y

例如冠心病模型中，Y只有1（患病）和0（不患病）的情况，这个时候很难直接建模。所以可以采用分组法，将每一个年龄段的1的概率作为新的Y进行建模

3. 元胞自动机

暂略，让程序负责

4.模糊综合评价

这是一个比较主观的用于判断一个事物好坏的方法

以下参考：https://www.bilibili.com/video/BV1LK411P7Qv?from=search&seid=11974302579866908995&spm_id_from=333.337.0.0

下面介绍方法的几个概念

因素：想要判断方法A好不好，需要找到几个衡量的指标，这些指标叫做因素，集合为因素集
评语：评价方法好坏的等级，好，一般，差等等

下面要对因素1进行评价，例如有α1\alpha_1α1（这里指概率）的人认为方法A有具备这个指标，α2\alpha_2α2的人认为可能有，α3\alpha_3α3的人认为没有，那么可以列出评价矩阵
v1=[α11,α12,α13]v_1=[\alpha_{11}, \alpha_{12},\alpha_{13}] v1=[α11,α12,α13]
接下来对因素2进行评价，同理得到评价矩阵
v2=[α21,α22,α23]v_2=[\alpha_{21}, \alpha_{22},\alpha_{23}] v2=[α21,α22,α23]
把这两个拼在一起组成综合评价矩阵
R=[α11α12α13α21α22α23]R=\begin{bmatrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} &\alpha_{13}\\ \alpha_{21} &\alpha_{22} &\alpha_{23}\\ \end{bmatrix} R=[α11α21α12α22α13α23]
接下来列出因素1和因素2的权重集
A=[β1,β2]A=[\beta_1 ,\beta_2] A=[β1,β2]
（权重和为1）

后面开始计算

得到最终结果
B=[0.6,0.2,0.1]B=[0.6,0.2,0.1] B=[0.6,0.2,0.1]
如果相加不为1，同除以和0.9即可

最终得到
B=[0.67,0.22,0.11]B=[0.67,0.22,0.11] B=[0.67,0.22,0.11]
取最大的0.67，根据前面指标中概率的排序方式，0.67指的就是评价为好的概率

这时可知为好的概率比较大