c语言埃尔米特插值思路,【数学建模算法】(26)插值和拟合：埃尔米特(Hermite)插值和样条插值...

1.埃尔米特(Hermite)插值

1.1.Hermite插值多项式

如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。

设已知函数

在

个互异节点

$x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ 上的函数值

$y_{i}=f\left(x_{i}\right)(i=0,1, \cdots, n)$ 和导数值

$y_{i}^{\prime}=f^{\prime}\left(x_{i}\right) \quad(i=0,1, \cdots, n)$ ，要求一个至多

次的多项式

，使得：

$H\left(x_{i}\right)=y_{i} \quad H^{\prime}\left(x_{i}\right)=y_{i}^{\prime} \quad(i=0,1, \cdots, n)$

满足上述条件的多项式

称为Hermite多项式。

Hermite 插值多项式为：

$H(x)=\sum_{i=0}^{n} h_{i}\left[\left(x_{i}-x\right)\left(2 a_{i} y_{i}-y_{i}^{\prime}\right)+y_{i}\right]$

其中：

$h_{i}=\prod_{j=0 \atop j \neq i}^{n}\left(\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\right)^{2}, \quad a_{i}=\sum_{j=0 \atop j \neq i}^{n} \frac{1}{x_{i}-x_{j}}$

1.2.用Matlab实现Hermite插值

Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数，必须编写一个 M 文件实现插值。

设

个节点的数据以数组

(已知点的横坐标)，

(函数值)，

(导数值)输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始)，

个插值点以数组

输入，输出数组

为

个插值。编写一个名为herite.m的M文件：

function y=hermite(x0,y0,y1,x);

n=length(x0);m=length(x);

for k=1:m

yy=0.0;

for i=1:n

h=1.0;

a=0.0;

for j=1:n

if j~=i

h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;

a=1/(x0(i)-x0(j))+a;

end

yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));

end

y(k)=yy;

end

2.样条插值

许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

2.1.样条函数的概念

所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线)，并使连接点处有连续的曲率。

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间

的一个分划：

$\Delta : \quad a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b$

如果函数

满足：

(1)在每个小区间

$\left[x_{i}, x_{i-1}\right](i=0,1, \cdots, n-1)$ 上

是

次多项式。

(2)

在

上具有

阶连续导数。

则称

为关于分划

$\Delta$ 的

次样条函数，其图形称为

次样条函数。

$x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ 称为样条节点，

$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}$ 称为内节点，

$x_{0}, x_{n}$ 称为边界点，这类样条函数的全体记做

$S_{P}(\Delta, k)$ ，则

是关于分划

$\Delta$ 的

次多项式样条函数。

次多项式样条函数的一般形式为：

$s_{k}(x)=\sum_{i=0}^{k} \frac{\alpha_{i} x^{i}}{i !}+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{\beta_{j}}{k !}\left(x-x_{j}\right)_{+}^{k}$

其中

$\alpha_{i}(i=0,1, \cdots, k)$ 和

$\beta_{j}(j=1,2, \cdots, n-1)$ 均为任意常数，而：

$\left(x-x_{j}\right)_{+}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-x_{j}\right)^{k}, x \geq x_{j}} \\ {0, \quad x<x_{j}}\end{array}, \quad(j=1,2, \cdots, n-1)\right.$

在实际中最常用的是

或3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。

二次样条函数：

对于

上的分划

$\Delta : a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$ ，则：

$s_{2}(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x+\frac{\alpha_{2}}{2 !} x^{2}+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{\beta_{j}}{2 !}\left(x-x_{j}\right)_{+}^{2} \in S_{P}(\Delta, 2)$

其中：

$\left(x-x_{j}\right)_{+}^{2}=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-x_{j}\right)^{2}, x \geq x_{j}} \\ {0, \quad x<x_{j}}\end{array}, \quad(j=1,2, \cdots, n-1)\right.$

三次样条函数：

对于

上的分划

$\Delta : a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$ ，则：

$s_{2}(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x+\frac{\alpha_{2}}{2 !} x^{2}+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{\beta_{j}}{2 !}\left(x-x_{j}\right)_{+}^{2} \in S_{P}(\Delta, 2)$

其中：

$\left(x-x_{j}\right)_{+}^{3}=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-x_{j}\right)^{3}, x \geq x_{j}} \\ {0, \quad x<x_{j}}\end{array}, \quad(j=1,2, \cdots, n-1)\right.$

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。

2.2.二次样条函数插值

首先，我们注意到

$s_{2}(x) \in S_{P}(\Delta, 2)$ 中含有

个特定常数，故应需要

+ n 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：

问题(1)：

已知插值节点

$x_{i}$ 和相应的函数值

$y_{i}(i=0,1, \cdots, n)$ 以及端点

$x_{0}$ (或

$x_{n}$ )处的导数值

$y_{0}^{\prime}$ (或

$y_{n}^{\prime}$ )，求

$s_{2}(x) \in S_{p}(\Delta, 2)$ 使得：

$\left\{\begin{array}{l}{s_{2}\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=0,1,2, \cdots, n)} \\ {s_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)=y_{0}\left(或s_{n}^{\prime}\left(x_{n}\right)=y_{n}\right)}\end{array}\right.$

问题(2)：

已知插值节点

$x_{i}$ 和相应的导数值

$y_{i}^{\prime}(i=0,1,2, \cdots, n)$ 以及端点

$x_{0}$ (或

$x_{n}$ )处的函数值

$y_{0}$ (或

$y_{n}$ )，求

$s_{2}(x) \in S_{p}(\Delta, 2)$ 使得：

$\left\{\begin{array}{l}{s_{2}^{\prime}\left(x_{i}\right)=y_{i}^{\prime}(i=0,1,2, \cdots, n)} \\ {s_{2}\left(x_{0}\right)=y_{0}\left(或s_{n}\left(x_{n}\right)=y_{n}\right)}\end{array}\right.$

事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。

对于问题(1)有：

$\left\{\begin{array}{l}{s_{2}\left(x_{0}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x_{0}+\frac{1}{2} \alpha_{2} x_{0}^{2}=y_{0}} \\ {s_{2}\left(x_{1}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x_{1}+\frac{1}{2} \alpha_{2} x_{1}^{2}=y_{1}} \\ {s_{2}\left(x_{j}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x_{j}+\frac{1}{2} \alpha_{2} x_{j}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k-1} \beta_{i}\left(x_{j}-x_{i}\right)^{2}=y_{j} \quad(j=2,3, \cdots, n)} \\ {s_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2} x_{0}=y_{0}^{\prime}}\end{array}\right.$

引入记号

$X=\left(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{n-1}\right)^{T}$ 为未知向量，

$C=\left(y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n}, y_{0}^{\prime}\right)$ 为已知向量。

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{1} & {x_{0}} & {\frac{1}{2} x_{0}^{2}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {1} & {x_{1}} & {\frac{1}{2} x_{1}^{2}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {1} & {x_{2}} & {\frac{1}{2} x_{2}^{2}} & {\frac{1}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} & {\cdots} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {0} & {\vdots} & {\vdots} \\ {1} & {x_{n}} & {\frac{1}{2} x_{n}^{2}} & {\frac{1}{2}\left(x_{n}-x_{1}\right)^{2}} & {\cdots} & {\frac{1}{2}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)^{2}} \\ {0} & {1} & {x_{0}} & {0} & {\cdots} & {0}\end{array}\right]$

于是，问题转化为求方程组

的解

$X=\left(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{n-1}\right)^{T}$ 的问题，即可得到二次样条函数

$s_{2}(x)$ 的表达式。

对于问题(2)的情况类似。

2.3.三次样条函数插值

由于

$s_{3}(x) \in S_{p}(\Delta, 3)$ 中含有

个待定系数。故应需要

个待定系数，已知插值节点

$x_{i}$ 和相应的函数值

$f\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=0,1,2, \cdots, n)$ ，这里提供了

个条件，还需要2个边界条件。

常用的三次样条函数的边界条件有 3 种类型：

(1)

$s_{3}^{\prime}(a)=y_{0}^{\prime}, s_{3}^{\prime}(b)=y_{n}^{\prime}$ 。由这种边界条件建立的样条插值函数称为

的完备三次样条插值函数。

特别地，

$y_{0}^{\prime}=y_{n}^{\prime}=0$ 时，样条曲线在端点处呈水平状态。

如果

$f^{\prime}(x)$ 不知道，我们可以要求

$s_{3}^{\prime}(x)$ 与

$f^{\prime}(x)$ 在端点处近似相等。这时以

$x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为节点作一个三次Newton插值多项式

$N_{a}(x)$ ，以

$x_{n}, x_{n-1}, x_{n-2}, x_{n-3}$ 作一个三次Newton插值多项式

$N_{b}(x)$ ，要求：

$s^{\prime}(a)=N_{a}^{\prime}(a), s^{\prime}(b)=N_{b}^{\prime}(b)$

(2)

$s^{\prime \prime}(a)=y^{\prime \prime}_{0}, s_{3}^{\prime \prime}(b)=y^{\prime \prime}_{3}$ 。特别地

$y_{n}^{\prime \prime}=y_{n}^{\prime \prime}=0$ ，称为自然边界条件。

(3)

$s_{3}^{\prime}(a+0)=s_{3}^{\prime}(b-0), s_{3}^{\prime \prime}(a+0)=s_{3}^{\prime \prime}(b-0)$ ，(这里要求)

$s_{3}(a+0)=s_{3}(b-0)$ 此条件称为周期条件。

2.4.三次样条插值在Matlab中的实现

在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。

Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：

y=interp1(x0,y0,x,'spline')；

y=spline(x0,y0,x)；

pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x);

其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。

对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是 pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数 ppval。

pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即 Lagrange 边界条件。

pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件，其值可为：

conds

作用

'complete'

边界为一阶导数，即默认的边界条件

'not-a-knot'

非扭结条件

'periodic'

周期条件

'second'

边界为二阶导数，二阶导数的值[0,0]

对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个

$1 \times 2$ 矩阵来表示，conds 元素的取值为1，2。此时，使用命令：

pp=csape(x0,y0_ext,conds)

其中 y0_ext=[left, y0, right]，这里 left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。

conds(i)=j 的含义是给定端点

的

阶导数，即 conds 的第一个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，对应的值由 left 和 right 给出。

例：机床加工

待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据

给出(在平面情况下)，用程控铣床加工时每一刀只能沿

方向和

方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的

坐标。

下表给出的数据

数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到

坐标每改变0.1时的

坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，并求出

处的曲线斜率和

$13 \leq x \leq 15$ 范围内

的最小值。

数据表：

1.2

1.7

2.0

2.1

2.0

1.8

1.2

1.0

1.6

利用Matlab编程，使用Lagrange，分段线性和三次样条三种插值方法计算。

clc,clear

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];

y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];

x=0:0.1:15;

y1=lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数

y2=interp1(x0,y0,x);

y3=interp1(x0,y0,x,'spline');

pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);

pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x);

fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')

fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')

xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];

fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')

subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')

subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')

subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')

subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')

dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数

ytemp=y3(131:151);

index=find(ytemp==min(ytemp));

xymin=[x(130+index),ytemp(index)]

(Lagrange函数请参见我的简书文章【数学建模算法】(23)插值和拟合：拉格朗日插值)

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