清风：数学建模算法、编程和写作培训

一、评价模型
- 1.1 层次分析法
- 1.2 代码详解
- 1.3 模型拓展
- 1.4 课后作业
二、插值与拟合模型
三、相关性模型
四、回归模型
五、图论模型
六、分类问题
七、聚类模型
八、时间序列模型
九、预测模型
十、降维模型

一、评价模型

1.1 层次分析法

其主要用于解决评价类问题(例如:选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀)。

1.2 代码详解

1.3 模型拓展

1.4 课后作业

层次分析法 (The analytic hierarchy process, 简称AHP)

% 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
% 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
% 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+Tdisp('请输入判断矩阵A')  %matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数
% 注意，disp函数比较特殊，这里可要分号，可不要分号哦A=input('A=');
% 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同）
% [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1]
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]% 在开始下面正式的步骤之前，我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误
ERROR = 0;  % 默认输入是没有错误的
%(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
[r,c]=size(A);
%size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
%[r,c]=size(A)  %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量cif r ~= c  || r <= 1% 注意哦，不等号是 ~=  (~是键盘Tab上面那个键，要和Shift键同时按才会出来)，别和C语言里面的!=搞混了% ||表示逻辑运算符‘或’（在键盘Enter上面，也要和Shift键一起按） 逻辑运算符且是 && （&读and，连接符号，是and的缩写。 ）ERROR = 1;
end
% Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。%(2)检验是否为正互反矩阵  a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
if ERROR == 0[n,n] = size(A);% 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示% 判断是否有元素小于0%    for i = 1:n%        for j = 1:n%            if A(i,j)<=0%                ERROR = 2;%            end%        end%    endif sum(sum(A <= 0)) > 0ERROR = 2;end
end%顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维
if ERROR == 0if n > 15ERROR = 3;end
endif ERROR == 0% 判断  a_ij * a_ji = 1 是否成立if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0ERROR = 4;end% A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置% ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵% ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵% MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”% 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1
endif ERROR == 0% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）% 第二步：将归一化的各列相加% 第三步：将相加后的向量除以n即可得到权重向量Sum_A = sum(A);% matlab中的sum函数的用法% a=sum(x);%按列求和% a=sum(x,2);%按行求和% a=sum(x(:));%对整个矩阵求和% % 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？% % （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）% %     A(2,1)  A(3,2)% % （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）% %     A(2,:)  A(5,:)% % （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）% %     A(:,1)  A(:,3)% % （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）% %    A([2,5],:)      只取第二行和第五行（一共2行）% %    A(2:5,:)        取第二行到第五行（一共4行）% % （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)% %    A(:)SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);% B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。% 另外一种替代的方法如下：% SUM_A = [];% for i = 1:n  %循环哦，不需要加冒号，这里表示循环n次%     SUM_A = [SUM_A;Sum_A];% endStand_A = A ./ SUM_A;% MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可disp('算术平均法求权重的结果为：');disp(sum(Stand_A,2) / n)% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量，然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量Prduct_A = prod(A,2);% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);% 这里对元素操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可disp('几何平均法求权重的结果为：');disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %% 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）[V,D] = eig(A);    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。% 下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html% 关于find函数的更加深入的用法可参考原文% >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];% >> ind = find(X)% ind =%    1     3     4     8     9% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：% >> ind = find(X,2)% >> ind =%     1     3%若X是一个矩阵，索引该如何返回呢？%  >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]%  X =%   1    -3     0%   0     0     8%   4     0     6%  >> ind = find(X)% ind =%      1%      3%      4%      8%      9% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：%  >> X(4)%  ans =%     -3% 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？% [r,c] = find(X)% r =%      1%      3%      1%      2%      3% c =%      1%      1%      2%      3%      3% [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素% r =%      1% c =%      1% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算，共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 ==  （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）% 例如：A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵，矩阵元素要么为0，要么为1（A中每个元素和2比较，如果大于2则为1，否则为0）[r,c]=find(D == Max_eig , 1);% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。disp('特征值法求权重的结果为：');disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %% 当CR<0.10时，我们认为判断矩阵的一致性可以接受；否则应对其进行修正。CI = (Max_eig - n) / (n-1);RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数CR=CI/RI(n);disp('一致性指标CI=');disp(CI);disp('一致性比例CR=');disp(CR);if CR<0.10disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');elsedisp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');end
elseif ERROR == 1disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
elseif ERROR == 2disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
elseif ERROR == 3disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量')
elseif ERROR == 4disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
end

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