文章目录

数学建模常见的一些方法
- 1. 拟合算法
- - 1.1 插值和拟合的区别
  - 1.2 求解最小二乘法
  - 1.3 Matlab求解最小二乘
  - 1.4 如何评价拟合的好坏
  - 1.5 证明SST = SSE + SSR
  - 1.6 计算拟合优度的代码
  - 1.7 拟合工具箱
  - 1.8 补充的计算函数randi，rand，normrnd，roundn
  - - 1.8.1 randi(范围,行,列): 产生均匀分布的随机整数（i = int）
    - 1.8.2 rand(行,列): 产生0至1之间均匀分布的随机数
    - 1.8.3 normrnd(均值,标准差,行,列):产生正态分布的随机数
    - 1.8.4 roundn(数,位数)—任意位置四舍五入

数学建模常见的一些方法

1. 拟合算法

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

1.1 插值和拟合的区别

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。
尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线)

1.2 求解最小二乘法

1.3 Matlab求解最小二乘

测试数据:

x =4.20005.90002.70003.80003.80005.60006.90003.50003.60002.90004.20006.10005.50006.60002.90003.30005.90006.00005.6000
>> y
y =8.400011.70004.20006.10007.900010.200013.20006.60006.00004.60008.400012.000010.300013.30004.60006.700010.800011.50009.9000

计算代码:

>> plot(x,y,'o')
>> % 给x和y轴加上标签
>> xlabel('x的值')
>> ylabel('y的值')
>> n = size(x,1);
>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
>> hold on  % 继续在之前的图形上来画图形
>> grid on  % 显示网格线
>> f=@(x) k*x+b; % 函数线
>> fplot(f,[2.5,7]);  % 设置显示范围
>> legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

计算过程：

>> plot(x,y,'o')
>> % 给x和y轴加上标签
>> xlabel('x的值')
>> ylabel('y的值')
>> n = size(x,1);>> n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y)
ans = 1.3710e+03>> n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)
ans = 654.4600>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
k = 2.0948>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = -1.0548>> hold on
>> grid on
>> f=@(x) k*x+b;
>> fplot(f,[2.5,7]);
>> legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

1.4 如何评价拟合的好坏

线性函数是指对参数为线性（线性于参数）
在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式。

1.5 证明SST = SSE + SSR

1.6 计算拟合优度的代码

计算代码:
mean() 是求均值的函数

>> y_hat = k*x+b;  % y 的拟合值
>> SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  %  回归平方和
>> SSE = sum((y_hat-y).^2)   %  误差平方和
>> SST = sum((y-mean(y)).^2)  %  总体平方和
>> SST-SSE-SSR
>> R_2 = SSR / SST

计算过程:

>> y_hat = k*x+b;  % y 的拟合值
>> SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  %  回归平方和
SSR = 151.1583>> SSE = sum((y_hat-y).^2)   %  误差平方和
SSE = 5.7281>> SST = sum((y-mean(y)).^2)   %  总体平方和
SST = 156.8863>> SST-SSE-SSR
ans = 5.6843e-14>> R_2 = SSR / SST
R_2 = 0.9635

1.7 拟合工具箱

低版本的Matlab可以在命令窗口中直接输入”cftool”

1.8 补充的计算函数randi，rand，normrnd，roundn

1.8.1 randi(范围,行,列): 产生均匀分布的随机整数（i = int）

%产生一个1至10之间的随机整数矩阵，大小为2x5；
s1 = randi(10,2,5)
9   4   5   3   2
7   6   1   2   3%产生一个-5至5之间的随机整数矩阵，大小为1x10；
s2 = randi([-5,5],1,10)
-1  -5  4   5   0   0   -2  4   -1  -4

1.8.2 rand(行,列): 产生0至1之间均匀分布的随机数

%产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
s3 = rand(1,5)
0.780252068321138   0.389738836961253   0.241691285913833   0.403912145588115   0.0964545251683886%产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5；  % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)
2.39591987781901    4.82615177232646    4.86840362068941    3.72562578523540    2.17933862884147

1.8.3 normrnd(均值,标准差,行,列):产生正态分布的随机数

%产生一个均值为0，标准差（方差开根号）为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
s5 = normrnd(0,2,3,4)-1.73093606110961 -2.66400884263049   0.667021666131612   -0.260569306291441
-0.353068228462902  -4.65973431161015   0.782707208865802   0.367378191723884
1.58283212325727    -2.89819458567748   0.903358837856475   -0.952306033238148

1.8.4 roundn(数,位数)—任意位置四舍五入

% 0个位 1十位  2百位 -1小数点后一位  以此类推a = 3.1415
roundn(a,-2)    % ans   =  3.1400
roundn(a,2)      % ans   =  0
a =31415
roundn(a,2)   % ans  = 31400
roundn(5.5,0)  %6
roundn(5.5,1) %10

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