UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础6 说明真空中电磁波传播速度等于光速

上一讲我们总结了Maxwell方程在电动力学中的不同应用方法，麦克斯韦方程组基础部分也只剩下了Maxwell理论中最关键的结论——真空中电磁波的传播速度等于光速，这是一个数学上的结果，可以给我们提供一些证据，让我们相信光是一种电磁现象，这一讲我们来叙述这个结果。

从介质中的Maxwell方程开始，
∇⋅D⃗=4πρ∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗−∂D⃗∂t=4πJ⃗\nabla \cdot \vec{D} = 4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 4\pi \vec{J}∇⋅D=4πρ∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×H−∂t∂D=4πJ

我们对这个方程组做一些修正。在Biot-Savart定律中引入光速，
B⃗=Qv⃗×r⃗∥r⃗∥23c\vec{B}=\frac{Q\vec{v} \times \vec{r}}{\left\| \vec{r} \right\|_2^3c}B=∥r∥23cQv×r

这里的ccc是一个标量，它的数值等于光在真空中的传播速度，无量纲；在Faraday定律中也引入光速
∮lE⃗⋅dl⃗=−dΦBd(ct)=−ddt∫S(l)B⃗c⋅dA⃗\oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} =-\frac{d\Phi_B}{d(ct)}=-\frac{d}{dt}\int_{S(l)}\frac{\vec{B}}{c} \cdot d\vec{A}∮lE⋅dl=−d(ct)dΦB=−dtd∫S(l)cB⋅dA

引入光速后，带电粒子速度可以被解释为xx倍光速。于是重复第二讲与第四讲中的推导，Faraday定律导出的方程需要被修改为
∇×E⃗=−∂B⃗∂(ct)\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial (ct)}∇×E=−∂(ct)∂B

第四个方程需要被修改为
∇×H⃗−∂D⃗∂(ct)=4πcJ⃗\nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial (ct)} = \frac{4\pi}{c} \vec{J}∇×H−∂(ct)∂D=c4πJ

在这个引入了光速这个常数的Maxwell方程中，我们继续第五讲来讨论电磁波问题。假设ρ=0,J⃗=0\rho = 0,\vec{J}=0ρ=0,J=0，在各向同性介质中，
D⃗=ϵE⃗B⃗=μH⃗\vec{D} = \epsilon \vec{E} \\ \vec{B} = \mu \vec{H}D=ϵEB=μH其中ϵ,μ\epsilon,\muϵ,μ分别是介电常数与磁导率，电磁波问题需要下面两个方程：
(1):∇×E⃗=−∂B⃗∂(ct)(2):∇×B⃗=μϵc∂E⃗∂t(1):\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial (ct)} \\ (2): \nabla \times \vec{B}=\frac{\mu \epsilon}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}(1):∇×E=−∂(ct)∂B(2):∇×B=cμϵ∂t∂E

考虑
μϵc∂∂t(1)+∇×(2)⇒∇×(∇×B⃗)+∂∂t(μϵc∇×E⃗)=μϵc∇×∂∂tE⃗−μϵc2∂2B⃗∂t2ΔB⃗−μϵc2∂2B⃗∂t2=0\frac{\mu \epsilon}{c} \frac{\partial }{\partial t}(1)+\nabla \times (2) \\ \Rightarrow \nabla \times (\nabla \times \vec{B})+ \frac{\partial }{\partial t} (\frac{\mu \epsilon}{c} \nabla \times \vec{E})=\frac{\mu \epsilon}{c} \nabla \times \frac{\partial }{\partial t} \vec{E}-\frac{\mu \epsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \\ \Delta \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=0cμϵ∂t∂(1)+∇×(2)⇒∇×(∇×B)+∂t∂(cμϵ∇×E)=cμϵ∇×∂t∂E−c2μϵ∂t2∂2BΔB−c2μϵ∂t2∂2B=0

第二行到第三行同样用了场论恒等式+Coulomb Gauge，最后可以得到磁感应的wave equation，用复指数形式表达磁感应，磁感应的wave equation的解为
B⃗=B0ei(k⃗⋅r⃗−wt)\vec{B} = B_0e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-wt)}B=B0ei(k⋅r−wt)

并且常数满足（dispersion equation）
k⃗2−μϵc2w2=0\vec{k}^2-\frac{\mu \epsilon}{c^2} w^2=0k2−c2μϵw2=0

其中k⃗\vec{k}k表示wave vector，www表示angular frequency (2π2\pi2π除以周期)，定义∥v⃗∥=cμϵ\left\|\vec{v}\right\|=\frac{c}{\sqrt{\mu \epsilon}}∥v∥=μϵc，则上式可以写成
∥k⃗∥=w∥v⃗∥\left\|\vec{k} \right\|=\frac{w}{\left\|\vec{v}\right\|}∥∥∥k∥∥∥=∥v∥w

这里的∥v⃗∥\left\|\vec{v}\right\|∥v∥就是电磁波的传播速度，在真空中，μ=ϵ=1\mu=\epsilon=1μ=ϵ=1，因此
∥v⃗∥=c\left\|\vec{v}\right\| = c∥v∥=c

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