UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础3 麦克斯韦方程的势能形式

定义电磁场的potential
改写Maxwell方程

上一讲我们基于实验定律导出了真空中电磁场的Maxwell方程：

∇⋅E⃗=4πρ∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×B⃗=4πJ⃗+∂E⃗∂t\nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B}=4\pi \vec{J}+\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ∇⋅E=4πρ∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×B=4πJ+∂t∂E

同时我们也提到了Maxwell方程包含8个独立方程，但只有6个未知量E⃗=(Ex,Ey,Ez)\vec{E}=(E_x,E_y,E_z)E=(Ex,Ey,Ez)以及B⃗=(Bx,By,Bz)\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)B=(Bx,By,Bz)，所以从数学上看Maxwell方程是一个超定系统。尽管在数学上我们也是可以处理超定系统的，但我们更希望能用一些简单的、有物理学意义的reformulation把它变成正定系统。

定义电磁场的potential

我们可以定义电场与磁场的"potential"，它们的"potential"可以使得Maxwell方程中的某些方程成为恒等式，这样我们就可以减少有效方程数目了。根据第二个方程，
∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0∇⋅B=0

引入A⃗\vec{A}A表示磁场的"potential"（上一讲的dA⃗d\vec{A}dA表示的是面积微元，方向为曲面的外法线方向），需要注意的是在场论中称这样的potential为vector potential，假设它满足
∇×A⃗=B⃗\nabla \times \vec{A} = \vec{B}∇×A=B

根据场论恒等式
∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A} )=0∇⋅(∇×A)=0

也就是说用"potential"表示磁场，则Maxwell方程组的第二个方程自然成立。将这种表示代入Maxwell方程的第三个方程中，
∇×E⃗=−∂∂t∇×A⃗∇×(E⃗+∂A⃗∂t)=0\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial }{\partial t} \nabla \times \vec{A} \\ \nabla \times (\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0∇×E=−∂t∂∇×A∇×(E+∂t∂A)=0

根据场论恒等式，
∇×(∇f)=0\nabla \times (\nabla f)=0∇×(∇f)=0

这里的fff表示任意scalar函数，于是∃Φ\exists \Phi∃Φ，使得
E⃗=−∂A⃗∂t−∇Φ\vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \PhiE=−∂t∂A−∇Φ

这样我们就得到了电场与磁场的“potential”，A⃗,Φ\vec{A},\PhiA,Φ，以及电场与磁场由“potential”表达的公式：
∇×A⃗=B⃗E⃗=−∂A⃗∂t−∇Φ\nabla \times \vec{A} = \vec{B} \\ \vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi∇×A=BE=−∂t∂A−∇Φ

并且在"potential"的表示之下，Maxwell方程中第二个与第三个方程成为恒等式。

改写Maxwell方程

下面我们把电场与磁场代入Gauss方程：
∇⋅E⃗=∇⋅(−∂A⃗∂t−∇Φ)=−ΔΦ−∂∂t(∇⋅A⃗)=4πρ\nabla \cdot \vec{E}=\nabla \cdot(-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi)=-\Delta \Phi - \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=4\pi \rho∇⋅E=∇⋅(−∂t∂A−∇Φ)=−ΔΦ−∂t∂(∇⋅A)=4πρ

其中Δ=∇⋅∇\Delta = \nabla \cdot \nablaΔ=∇⋅∇，它是Laplace算子，所以
ΔΦ+∂∂t(∇⋅A⃗)=−4πρ\Delta \Phi+ \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=-4\pi \rhoΔΦ+∂t∂(∇⋅A)=−4πρ

然后我们把电场与磁场代入Ampere定律中，
∇×B⃗=∇×(∇×A⃗)=4πJ⃗+∂∂t(−∂A⃗∂t−∇Φ)\nabla \times \vec{B}=\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=4\pi \vec{J}+\frac{\partial }{\partial t} (-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi)∇×B=∇×(∇×A)=4πJ+∂t∂(−∂t∂A−∇Φ)

根据场论关系式，
∇×(∇×A⃗)=∇(∇⋅A⃗)−ΔA⃗\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−ΔA

所以
∇(∇⋅A⃗)−ΔA⃗=4πJ⃗−∂2A⃗∂2t−∂∂t∇Φ\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}=4\pi \vec{J}-\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}-\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi∇(∇⋅A)−ΔA=4πJ−∂2t∂2A−∂t∂∇Φ

于是
∇(∇⋅A⃗)−ΔA⃗+∂2A⃗∂2t+∂∂t∇Φ=4πJ⃗\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}+\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}+\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi=4\pi \vec{J}∇(∇⋅A)−ΔA+∂2t∂2A+∂t∂∇Φ=4πJ

综上，我们可以把电场强度与磁场强度替换为磁场的向量势A⃗\vec{A}A与电场的某种势能Φ\PhiΦ（四个未知量），这样Maxwell方程可以简化为
ΔΦ+∂∂t(∇⋅A⃗)=−4πρ∇(∇⋅A⃗)−ΔA⃗+∂2A⃗∂2t+∂∂t∇Φ=4πJ⃗\Delta \Phi+ \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=-4\pi \rho \\ \nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}+\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}+\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi=4\pi \vec{J}ΔΦ+∂t∂(∇⋅A)=−4πρ∇(∇⋅A)−ΔA+∂2t∂2A+∂t∂∇Φ=4πJ

这个方程组有4个自由方程，是一个正定系统，并且这个方程组右边表示电磁场的source，包括电荷密度ρ\rhoρ与电流密度J⃗=(Jx,Jy,Jz)\vec{J}=(J_x,J_y,J_z)J=(Jx,Jy,Jz)，等式左边包含方程组的未知量，磁场的向量势A⃗=(Ax,Ay,Az)\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)A=(Ax,Ay,Az)与电场的“势”Φ\PhiΦ。