P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G(dp优先队列)

P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G(dp&优先队列)

一个结论就是：修改后的值一定在原序列出现过，这样是最优的。

将aia_iai 离散化递增排序得到bbb

以递增为例子，然后就很显然令dp(i,j)=min(dp(i,j),dp(i−1,k)+abs(ai−bj)),k∈[1,j]dp(i,j)=min(dp(i,j),dp(i-1,k)+abs(a_i-b_j)),\ k \in [1,j]dp(i,j)=min(dp(i,j),dp(i−1,k)+abs(ai−bj)), k∈[1,j]

这里min(dp(i−1,,k))min(dp(i-1,,k))min(dp(i−1,,k)) 可以前缀和优化。

这样复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)

递减同理。

#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,minf[2009][2009],f[2009][2009],a[2009],b[2009],t[2009],ans;
void ini()
{for (int i=0;i<=n;i++)for (int j=0;j<=m;j++)minf[i][j]=f[i][j]=0;
}
void dp()
{for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++){f[i][j]=minf[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]);if (j!=1) minf[i][j]=min(minf[i][j-1],f[i][j]);else minf[i][j]=f[i][j];}
}
int main()
{scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);t[i]=a[i];}sort(t+1,t+1+n);int now=-1;for (int i=1;i<=n;i++) if (now!=t[i]) b[++m]=t[i],now=t[i];ini(); dp(); ans=minf[n][m]; for (int i=1;i<=m/2;i++) swap(b[i],b[m-i+1]);ini(); dp(); ans=min(ans,minf[n][m]);printf("%d\n",ans);return 0;
}

更优的做法是用大根堆，每次丢aia_iai进堆，若比堆顶小，则把堆顶改成aia_iai。

花费(x−y)(x-y)(x−y)的费用，尽可能让(y′)(y')(y′)最小，所以最优的情况就是top=aitop= a_itop=ai，也就是说尽可能让前面的最大值最小，保证后面空间更大。

时间复杂度：O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

// Problem: P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2893
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 3000 ms
// Date: 2022-06-30 22:45:26
// --------by Herio--------#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=2e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = {402653189,805306457,1610612741,998244353};
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr)
void Print(int *a,int n){for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);printf("%d\n",a[n]);
}
template <typename T>     //x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y){if(x<y) x=y;
}
template <typename T>
void cmn(T &x,T y){if(x>y) x=y;
}
int n;
ll ans=0;
int a[N];
int main(){scanf("%d",&n);rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);priority_queue<int>q;rep(i,1,n){int x = a[i];q.push(x);//printf("%d %d\n",x,q.top());if(x<q.top()){ans+=q.top()-x;q.pop();q.push(x);}}ll s =0;priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q1;rep(i,1,n){int x = a[i];q1.push(x);if(x>q1.top()){s+=x-q1.top();q1.pop();q1.push(x);}       }//printf("%lld %lld\n",ans,s);printf("%lld\n",min(ans,s));return 0;
}

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