一、复合函数的求导法则

1.1、一元函数与多元函数符合的情形

1.1.1、证明

1.1.2、推广到中间变量多余两个的

1.2、多元函数与多元函数的复合

1.2.1、为什么将dzdx变成∂z∂x\frac {dz} {dx} 变成\frac {\partial z}{\partial x}dxdz变成∂x∂z

1.2.2、推广到多个中间变量

1.3、特殊情形

1.3.1、第一种特殊情形

1.3.2、第二种特殊情形：中间函数也是复合函数的自变量

注意 ∂z∂x\frac {\partial z} {\partial x}∂x∂z 与 ∂f∂x\frac {\partial f} {\partial x}∂x∂f 不同

1.3.2.1、例

例1

1.4、记号 f1′(u,v)=fu(u,v),f2′(u,v)=fv(u,v),f12′(u,v)=fuv(u,v),f^{'}_{1}(u,v) = f_{u}(u, v), f^{'}_{2}(u,v) = f_{v}(u, v),f^{'}_{12}(u,v) = f_{uv}(u, v),f1′(u,v)=fu(u,v),f2′(u,v)=fv(u,v),f12′(u,v)=fuv(u,v),

1.5、将直角坐标转为极坐标

利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ作为中间函数x=\rho cos\theta，y =\rho sin\theta 作为中间函数x=ρcosθ，y=ρsinθ作为中间函数

二、全微分形式不变性

2.1、一元函数微分不变性

y=f(x)，则dy=f′(x)dxy=f(x) ，则dy = f^{'} (x)dxy=f(x)，则dy=f′(x)dx

2.2、多元函数全微分不变性

2.2.1、例

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多元复合函数的求导法则

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1.1、一元函数与多元函数符合的情形

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1.2.1、为什么将dzdx变成∂z∂x\frac {dz} {dx} 变成\frac {\partial z}{\partial x}dxdz变成∂x∂z

1.2.2、推广到多个中间变量

1.3、特殊情形

1.3.1、第一种特殊情形

1.3.2、第二种特殊情形：中间函数也是复合函数的自变量

注意 ∂z∂x\frac {\partial z} {\partial x}∂x∂z 与 ∂f∂x\frac {\partial f} {\partial x}∂x∂f 不同

1.3.2.1、例

1.4、记号 f1′(u,v)=fu(u,v),f2′(u,v)=fv(u,v),f12′(u,v)=fuv(u,v),f^{'}_{1}(u,v) = f_{u}(u, v), f^{'}_{2}(u,v) = f_{v}(u, v),f^{'}_{12}(u,v) = f_{uv}(u, v),f1′(u,v)=fu(u,v),f2′(u,v)=fv(u,v),f12′(u,v)=fuv(u,v),

1.5、将直角坐标转为极坐标

二、全微分形式不变性

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2.2、多元函数全微分不变性

2.2.1、例

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1.2.1、为什么将dzdx变成∂z∂x\frac {dz} {dx} 变成\frac {\partial z}{\partial x}dxdz​变成∂x∂z​

1.2.2、推广到多个中间变量

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