本文是上一篇文章的续集。

预告：上篇文章说过的基解可视化在本文末尾，不想看中间推导过程的可以直接拉到最底下看图。个人觉得这些图都相当地优美，大概这就是数学的魅力吧。

Chebyshev 多项式的性质

回忆 Chebyshev 多项式的定义：

以上递推式的形式类似于 Fibonacci 数列，事实上 Chebyshev 多项式也有一些类似于 Fibonacci 数列的性质。

引理18 若补充定义

1）

2）

3）

4）

5）若

证明：

1）对

从而

2）可用归纳法证明，或者直接由

重复以上步骤得到

3）若

4）由（3）直接用辗转相除可得

对

5）由（4）立即可得。

定义19 对任意非零多项式

深度，记为

由引理 18 的（4）和（5）立即可得：

推论20 对任意非负整数

这里我们约定

基解的“基解”

回忆上一篇文章最终得到的定理：

定理17 若多项式

其中

则方程（1）有一组基解

其中

注意到式子

定理中对

定理17' 对任意

其中

（注意上述定理中将

利用

定理17'' 对任意

其中

（别忘了我们约定

现在我们换一个角度看这些基解，不把它们按照

定理17''' 对任意

若

为标准基。对任意

若固定

取不同的

规律很明显：

通过若干次镜像翻转操作（上下和左右都翻转，每次翻转都在中间填充一排 0）得到的。实际上这条规律并不准确，当域的特征不为 2 时，每次翻转还要进行反色操作，即将

不妨将这种操作简称为镜像反色操作，容易看出镜像反色操作不仅适用于标准基，事实上任何

（直接运代入原始方程就能验证）。

回头看定理 17'''，既然已经找到规律，我们只需证标准基

引理21 设

（1）对任意

（2）对任意

证明：

（1）将

（2）利用

由此立即可得下面的定理。

定理22 设

（1）

（2）

由此可以看出，我们只需研究定理 17''' 中由

定义23 对任意

若

为单体标准基，简称单体。（命名“单体”是为了区别于照镜子出现的“多体”）

c=0 的情况

若取 c=0，直接代入定理 17 立即可得方程（1）的解空间维数等于

可见此时解空间维数有非常容易计算的表达式。不仅如此，当 c=0 时很容易给出方程（1）的一组基解。首先注意，对任意

一般地，对任意

是否同时成立，如果不同时成立则在这个格子里填 0。如果同时成立，则考察

容易验证这样填出来的一组数字确实是方程（1）的解，即我们得到了方程（1）的

对任意

至此得到结论：当

幂次法则

我们知道特征为素数 p 的域上有一条特殊的恒等式

引理24 对任意域

其中

这个引理直接用归纳法即可证明。

命题25 在特征为素数

1）

2）若

证明：

1）在引理 24 构造的域

（这里反复利用了

等式两端都是多项式环

2）注意

若

再由

即可推出

由命题 25 立刻可以得到同一不可约多项式不同次幂对应深度的关系。

命题26 在特征为素数

证明：若

对后一半命题，首先由已知条件可知

接下来用归纳法证明

1）首先由

于是

2）假设

由（1）和（2）完成了归纳法证明，待证命题成立。

以上命题说明对大多数

命题26（补充）

1）在特征为

2）在特征为素数

证明：首先求

容易推出

1）由命题 25 可知对任意非负整数

而

2）由命题 25 可知对任意非负整数

而

有限域

从根本上来说，如果要研究特征为素数 p 的域上的方格填数问题，完全可以假设这个域是有限域（进一步说，可以假设这个域是

1）由上一篇文章的定理 14 可知，如果方格填数问题的方程（1）有非零解，那么 c 一定是

换句话说，如果

2）之前提到过，既然方程（1）是域

本节将总是在有限域

首先我们证明：任意不可约多项式的深度都是有限的。

命题27

1）若

2）若

证明：我们依然在引理 24 构造的域

1）由引理 24 可得

2）由引理 24 可得

命题28 设

1）若

2）若

3）若

以上说明

证明：已知

可见在有限域上应用命题 26，不需要考虑

命题29

1）若

2）若

证明：

1）记

接下来只需要证明

（这只需注意到

因此若

2）定义多项式列

容易证明

下面用归纳法证明多项式等式

首先验证等式对

可得

归纳证明完成。若有非常值多项式

命题 29 说明命题 26 中定义的

构造基解的另一种简便方法

（这里直接给结论，不铺垫了）

设

并假设

A）定义特征多项式

（容易看出

定义两端无限延伸的数列

给出（注意

为了方便处理这种形式的递推公式，引入数列

并以自然方式定义形式级数的加减法，以及形式级数与普通多项式的乘法（约定总将普通多项式写在左边，形式级数写在右边），容易验证形式级数加法构成 Abel 群，乘法满足结合律

引理30 数列

证明：显然我们需要用到

首先由条件

（实际上不是直接代入，而是设

直接归纳法可证

由

接下来只需要证

1）当域

2）当域

已知多项式

容易看出，数列

镜像反色操作铺满数轴上所有整点得到的无穷数列。我们准备用

B）定义形式级数列

同时规定

每个格子都满足方格填数性质（即周围十字区域 5 格之和等于自身的 c 倍）。

容易证明每个形式级数

引理31

证明：有没有注意到形式级数

特别地，

也就是

（多项式

由

至此我们知道数阵

该矩形区域就是矩形填数问题的一个解。至此构造基解的准备工作已经完成。

定义32 设

并假设

称为第二类单体标准基。（该记号与定义 23 类似，参数位置略有不同，并且去掉了尺寸参数

另外，无穷矩阵

第二类无穷标准基，记为

将定义 32 与定义 23 对比可以发现，二者定义的单体标准基尺寸、数量完全相等。一般地，对任意

任意一组第二类单体标准基扩充成相同尺寸后线性无关。

这句话改用无穷标准基叙述更简单，因为不需要扩充成相同尺寸了：

引理33 任意一组第二类无穷标准基线性无关。

证明：任取一组第二类无穷标准基的线性组合并假设其为 0，即

（注意这里把

证明过程中不需要考虑无穷标准基的所有数，只要考虑第一列。把

由之前的讨论可知

其中

第一步先证明

首先注意到各个

由假设条件

第二步证明各个

最低正整数次非零项的次数等于

至此就证明了：我们定义的第二类单体标准基与原先定义的单体标准基一样，也可以用来生成任意尺寸矩形方格的一组基解。可以看到第二类单体标准基计算的计算比较简单：算出多项式的深度之后，只需设定第一列的

It's show time!

有限域的解都可以用颜色对应的方法可视化，我编程绘制了 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 元域对应的所有宽度高度均不超过 1000 的单体标准基，每张图片对应一个单体标准基（每个有限域对应的所有图片压缩后大概几百个 MB）。具体算法就如同上一小节说的那样：

1. 枚举不可约多项式
   （事先用筛法得到不可约多项式的列表），对每个
   从小到大枚举正整数
   。
2. 计算
   ，如果二者有一个大于 1001 说明尺寸超过上限，直接结束关于多项式
   的计算，枚举下一个多项式。具体方法是递推计算
   模
   的余式，直到余式为 0 终止，如果算到 1001 还不归零说明尺寸超过上限了。
3. 计算多项式

   以推出第一列的递推公式。

4. 令
   循环取遍
   中所有整数。对每个
   ，建一个下标范围为
   的一维数组
   ，将
   置为零，再将
   分别置为
   ，最后使用递推公式

   计算数组

   的其余各项。（注意这里的运算都是有限域的运算，与普通的算术运算不同）
5. 建一个大小为
   的二维数组
   ，令
   ，使用递推公式

   计算数组

   的其余各项（递推式中遇到下标越界的项一律视为零），数组
   即为单体标准基
   ，转换成图片输出即可。

以上算法最麻烦的是枚举不可约多项式，因为事先不知道多项式的次数上界，只能试探着枚举到某个次数的不可约多项式，如果一直都找不到不超过 1000 的单体标准基，就认为以后都找不到了。例如对于二元域的情况（

具体确认方法很简单：用 Mathematica 暴力计算所有

素数阶域

本节总假设

先看最简单的情况：

（

由此可以知道：

可见当

分形的味道。

接下来看二次多项式

（单体默认优先按

以上就是 4×4 方格的所有 4 个基解，这也是 4×4 点灯游戏“只要有解，则不按第一行的开关就能过关”的原因。

当

角落和中间出现了一些周期重复的图样，但总体的布局却显得杂乱无章。不过也不是所有的单体都是这种样子：

这就是把多项式

随着不可约多项式

前面提到过：宽高均不超过 1000 的单体对应

下图是

只用简单的递推公式

对其他有限域，单体图片的“整体感觉”大同小异，花纹样式则千变万化。

素数阶域颜色对照表：

——白色 0，灰色 1，黑色 2；

——白色 0，浅红 1，深红 2，深蓝 3，浅蓝 4；

——白色 0，浅红 1，中红 2，深红 3，深蓝 4，中蓝 5，浅蓝 6。

（是不是很像 Sierpinski 地毯？）

对非素数阶域，c 一般取某个生成元（换句话说，域

非素数阶域颜色对照表：

——c^2+c+1=0，白色 0，黑色 1，浅红 c，深红 c+1；

——c^3+c+1=0，白色 0，黑色 1，浅红 c，深红 c+1，浅蓝 c^2，深蓝 c^2+1，浅紫 c^2+c，深紫 c^2+c+1；

——c^2+1=0，白色 0，灰色 1，黑色 2，浅红 c，中红 c+1，深红 c+2，浅蓝 c^2，中蓝 c^2+1，深蓝 c^2+2。

后记

本文有关 Chebyshev 多项式性质的部分参考了下面两篇论文：

[HMP] Chebyshev polynomials over finite fields and reversability of σ-automata on square grids, by Markus Hunziker, António Machiavelo, and Jihun Park.

[Su] σ-Automata and Chebyshev-Polynomials, by Klaus Sutner (1996). Theoretical Computer Science, vol. 230, (2000), no. 1-2, pp. 49-73.

这个系列的文章到此告一段落，以上两篇论文还有关于 Chebyshev 多项式的更多性质（这里因为篇幅所限不可能详细介绍），感兴趣的可以看一下。