【题记】

宝石虽落在泥土里，仍是宝石，砂粒虽被吹到天空中，还是砂粒。——莎士比亚不是有水的地方就有青蛙，但是青蛙叫的地方必定有水。——歌德

【配合教材】本探究配合“因数与倍数”。通过本探究能够帮助学生巩固所学知识，激发学生数学学习的兴趣，让学生学会举一反三，培养学生思维的严密性和开放性，增强学生数学学习的信心，拓展学生数学学习的视野。【基本探究】同学们，我们在日常学习中，求的最大公因数一般都比较小，我们可以通过口算、短除法等来求出最大公因数。但是中国和西方的古代数学中，已有人有许多高人懂得更妙的求最大公因数的方法，今天我们就一起来见识一下吧。这两种妙法分别叫“更相减损法”和“辗转相除法”。一、更相减损法更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公因数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公因数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。其中所说的“等数”，就是最大公因数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。说了半天，同学们可能听得云里雾里吧，还是举个例子来说吧。比如，用“更相减损术”求98与63的最大公因数，我们可以这样进行——由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=35，63-35=28，35-28=7，28-7=21，21-7=14，14-7=7，所以，98和63的最大公因数等于7。这个过程还可以简单的写为：(98，63)=(35，63)=(35，28)=(7，28)=(7，21)=(7，14)=(7，7)=7.

二、辗转相除法“辗转相除法”是求两个自然数的最大公因数的一种方法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。用“辗转相除法”求几个数的最大公因数，可以先求出其中任意两个数的最大公因数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公因数，就是所有这些数的最大公因数。我们也来举个例子。比如，求319与377的最大公因数。注意求最大公因数也可以简写成：(319，377)=？过程如下——∵ 319÷377=0(余319)，∴(319，377)=(377，319)；∵ 377÷319=1(余58)，∴(377，319)=(319，58)；∵ 319÷58=5(余29)，∴ (319，58)=(58，29)；∵ 58÷29=2(余0)，∴ (58，29)= 29；∴ (319，377)=29。【指点迷津】更相减损术与辗转相除法的区别在哪里呢？首先，它们都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。其次，从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。【探究进阶】1．请同学们试着用“更相减损术”求260和104的最大公因数。2．请同学们试着用“辗转相除法”求8251和6105的最大公因数。【参考答案】1．由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：65-26=39，39-26=13，26-13=13，所以260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13×2×2=52。这个过程可以简单地写为：(260，104)(/2/2) =>(65，26)=(39，26)=(13，26)=(13，13)=13，13×2×2=52。2．因为8251＝6105×1＋2146，所以8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。于是有：6105＝2146×2＋1813，2146＝1813×1＋333，1813＝333×5＋148，333＝148×2＋37，148＝37×4＋0，所以37就是8251与6105的最大公因数。

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