辗转相除法求最大公约数原理分析（附代码实现）

前言
解释
原理分析
代码
结语

前言

辗转相除法用起来很简单，但是其原理却自己想不明白。于是乎看了几篇有关辗转相除法原理的分析，在这里自己写下自己的理解。

解释

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

即：两个数相除，若能除尽，则较小的那个数为最大公约数；若除不尽，则用余数替代掉较大的那个数，继续两个数相除、取余，直到能够除尽，此时较小的数即为最大公约数。

原理分析

首先设我们要求的两数分别为a、b（默认a>b），用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数。

r = a (mod b) 即 r 为a除以b的余数（remainder），

设q为a除以b的商（quotient），即 a÷b=q…r。

辗转相除法就是要证明 a和b的最大公约数和 b和r的最大公约数相同；
即gcd(a,b)=gcd(b,r)。

前提：

a÷b=q…r。（a>b）

第一步：令c=gcd(a,b)，即c为a和b的最大公约数，设

a=Ac，b=Bc

第二步：结合前提可知，余数r满足

r =a-qb
=Ac-qBc
=(A-qB)c

根据第二步结果可知：c也是r的约数，即c既是a，b的最大公约数，也是r和b的公约数。如果我们能够证明c不仅是公约数，更是最大公约数，那么就能够证明辗转相除法gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第三步：

已知：
r = (A-qB)c
b = Bc
现在r和b分别各有两个约数：（A-qB）和c 以及 B和c，
c已经是公约数了，那如果我们能够证明(A-qB)与B互质的，就说明这两个因子中不再能够展开出其他公约数出来，那么r和b的最大公约数就是c。

第四步：证明（A-qB）与B互质（反证法）

我们假设（A-qB）与 B 存在公约数 d (d>1)
A-qB=xd ①
B=yd ②

由①式可得：A = qB+xd;
将 A 代回 a = Ac：
a = (qB+xd)c ,
再将 B= yd 代回:
a = (qyd+xd)c
a = (qy+x)dc
b = ydc
此时，a和b的最大公约数为dc，与我们最开始假定c为最大公约数的条件相矛盾，说明d不存在，
（A-qB）与 B 互质得证

（A-qB）与 B 互质，那么c也是r和b的最大公约数，gcd(a,b)=gcd(b,r) 得证。

代码

 int a,b;scanf("%d,%d",&a,&b);//保证a为较大的那个数if(a<b){int c=a;a = b;b = c;}//核心代码while((a%b)!=0){int r = a%b;a = b;b = r;}

结语

求最大公约数有很多个方法，更多方法可参考这里.

其中辗转相除法和更相减损法的原理比较类似，对更相减损法的原理分析可参考这里

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