基本概念

向量：既有大小又有方向的量，又称矢量

向量的大小叫向量的长度（模）

在线性代数中只研究自由向量

相等：向量a与b大小相等、方向相同；如果方向相反则称为反向量

共线：向量a与b平移到始点重合时，这两个向量在同一条直线上的情况称为两向量平行，也称为共线

共面：向量a与b如果三个向量都平行于同一个平面，那么将他们平移使之始点重合时，三个向量就在一个平面上；将平行于同一个平面的向量称为共面向量

夹角：向量a与b的正向之间不大于π\piπ的角

线性运算

加减

使用平行四边形法则和三角形法则进行向量的加减

数乘

∣λa⃗∣=∣λ∣∣a⃗∣\left| \lambda \vec{a} \right|=\left| \lambda \right| \left| \vec{a} \right|∣λa∣=∣λ∣∣a∣

加减和数乘都满足

结合律、交换律
结合律

投影

设向量a和b的夹角为θ\thetaθ，且b≠0b\neq0b=0，把∣a⃗∣cosθ\left| \vec{a} \right|cos\theta∣a∣cosθ称为向量a在向量b上的投影

记作(a⃗)b⃗(\vec{a})_{\vec{b}}(a)b或Prjb⃗a⃗Prj_{\vec{b}}\vec{a}Prjba

把(a⃗)b⃗b⃗b⃗(\vec{a})_{\vec{b}}\frac{\vec{b}}{\vec{b}}(a)bbb称为a在b上的投影向量

投影满足

交换律、结合律
分配律

向量运算

数量积（点积）

两向量的点积是一个数

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos<a⃗,b⃗>\vec{a} \cdot \vec{b}=\left| \vec{a}\right|\left| \vec{b}\right| cos<\vec{a},\vec{b}>a⋅b=∣a∣∣∣∣b∣∣∣cos<a,b>

数量积的几何意义：向量的长度乘它在另一向量上投影的长度

数量积有以下性质：

两相同向量的点积非负，当且仅当零向量时点积为0
满足交换律、结合律、分配律

坐标运算

两个向量的数量积等于他们坐标的乘积之和

cosθ=a⃗b⃗∣a⃗b⃗∣cos\theta=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left|\vec{a}\vec{b}\right|}cosθ=∣ab∣ab

向量积（叉积、内积）

两个向量的向量积是一个向量

a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sin<a⃗,b⃗>\vec{a}\times\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|sin<\vec{a},\vec{b}>a×b=∣a∣∣∣∣b∣∣∣sin<a,b>

得到向量的方向与a和b都垂直，且按照a，b，**a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}a×b**的顺序符合右手定则

向量积的几何意义：当两向量不平行时，由两向量形成平行四边形的面积

具有以下性质：

两相同向量的叉积为0
满足负交换律：a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}a×b=−b×a
满足结合律、分配律

坐标运算

a⃗×b⃗=(aybz−azby)i⃗+(axbz−azbx)j⃗+(axby−aybx)k⃗\vec{a}\times\vec{b}=(a_yb_z-a_zb_y)\vec{i}+(a_xb_z-a_zb_x)\vec{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\vec{k}a×b=(aybz−azby)i+(axbz−azbx)j+(axby−aybx)k

可写成三阶行列式

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec{a}\times\vec{b}= \left|\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣

混合积

三个向量可以进行混合积运算，混合积得到的是一个数

(a⃗,b⃗,c⃗)=(a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}(a,b,c)=(a×b)⋅c

几何意义：以三个非零向量为棱做一个平行六面体，其底面积为∣a⃗×b⃗∣\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|∣∣∣a×b∣∣∣，高为∣c⃗∣∣cos<c⃗,a⃗×b⃗>∣|\vec{c}||cos<\vec{c},\vec{a}\times\vec{b}>|∣c∣∣cos<c,a×b>∣，平行六面体的体积为三个向量的混合积V=(a⃗,b⃗,c⃗)V=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})V=(a,b,c)

具有以下性质：

满足(a⃗,b⃗,c⃗)=(c⃗,a⃗,b⃗)=(b⃗,c⃗,a⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})(a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)，但(a⃗,b⃗,c⃗)=−(b⃗,a⃗,c⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c})(a,b,c)=−(b,a,c)
(a1⃗+a2⃗,b⃗,c⃗)=(a1⃗,b⃗,c⃗)+(a2⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a_1}+\vec{a_2},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a_1},\vec{b},\vec{c})+(\vec{a_2},\vec{b},\vec{c})(a1+a2,b,c)=(a1,b,c)+(a2,b,c)
(λa⃗,b⃗,c⃗)=λ(a⃗,b⃗,c⃗)(\lambda \vec{a},\vec{b},\vec{c})=\lambda (\vec{a},\vec{b},\vec{c})(λa,b,c)=λ(a,b,c)
若(a⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})(a,b,c)中含有两个平行或有一个为零向量，则(a⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})(a,b,c)=0

向量关系

点积得0 == 两向量垂直
叉积得0 == 两向量平行 == 两向量成比例（数乘λ\lambdaλ）== axbx=ayby=azbz\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}bxax=byay=bzaz
混合积得0 == 三向量共面

空间坐标系

坐标向量（代数向量）：p=[px,py,pzp_x,p_y,p_zpx,py,pz]^T叫做空间向量p的坐标向量，在给定的坐标系下二者一一对应，把二者同称为向量

px、py、pz一次称为点P的横坐标、纵坐标、竖坐标

空间中全体向量的集合叫做三维几何空间，在Oxyz坐标系中，可以用从原点出发的所有向量的集合来表示

空间平面及其方程

法向量：与平面垂直的非零向量。平面上任意向量都与其法向量垂直

确定平面的方法：

平面上一点与其法向量确定一个平面
空间中不共线的三点唯一的确定一个平面

平面点法式方程

有平面上一点P(x₀,y₀,z₀)

有平面的法向量n⃗=Ai⃗+Bj⃗+Ck⃗\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}n=Ai+Bj+Ck

平面的点法式方程为A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

行列式形式为

∣x−x0y−y0z−z0axayazbxbybz∣=0\left|\begin{array}{cccc} x-x_0 & y-y_0 & z-z0\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| =0∣∣∣∣∣∣x−x0axbxy−y0aybyz−z0azbz∣∣∣∣∣∣=0

平面一般式方程

整理点法式方程可得Ax+By+Cz+D=0

其中，D=-(Ax₀+By₀+Cz₀)

称为平面的一般式方程

任意一个三元一次方程总表示一个平面，方程中变量的系数组成的向量n=[A,B,C]^T是平面的法向量，这个平面总是过点(0,0,−DC-\frac{D}{C}−CD)

特别地，

当D=0时，表示一个过原点的平面
当D≠0D\neq0D=0且A,B,C中只有一个是0时，平面平行于某个坐标轴，A,B,C分别对应i,j,k（如A=0,平面法向量为[0,B,C]^T，法向量与x轴垂直，平面平行于x轴）
当D≠0D\neq0D=0且A,B,C中有两个是0时，平面平行于某个坐标面（平行于等于0的那两个值对应的坐标面）（如A=B=0，则平行于Oxy平面）

平面截距式方程

一个不过原点的平面与x轴交点的横坐标叫做该平面在x轴上的截距，类似的，当abc≠0abc\neq0abc=0时，平面xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1在x、y、z轴上的截距分别为a，b，c

形如xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1的方程称为平面的截距式方程

使用截距式方程可以比较容易地画出平面的图形

平面三点式方程

空间中三点确定一个平面，表达式如下：

∣x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1∣=0\left|\begin{array}{cccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z1 \end{array}\right| =0∣∣∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣∣∣=0

这个方程称为平面的三点式方程

计算比较复杂

同轴平面束

同轴平面束：经过同一条直线的所有平面的集合

两平面π1\pi_1π1和π2\pi_2π2相交于一条直线lll

设两个不同时为0的实参数，建立含有λ1\lambda_1λ1、λ2\lambda_2λ2的方程：

λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda_2(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0

当λ1=0\lambda_1=0λ1=0时，它是平面π2\pi_2π2；当λ2=0\lambda_2=0λ2=0时，它是平面π1\pi_1π1

上式表示以直线lll为轴的平面束方程

空间直线及其方程

方向向量：与直线平行的非零向量。直线上任意向量都与其方向向量平行

方向向量的三个坐标称为对应直线的方向数

确定空间一条直线的方法：

一条直线可以由其上一点和它的方向向量唯一确定、
空间中相异的两点唯一确定一条直线
两相交平面的交线可唯一确定一条直线

点向式方程

已知直线上一点P₀(x₀,y₀,z₀)

已知直线的方向向量s⃗=mi⃗+nj⃗+pk⃗\vec{s}=m\vec{i}+n\vec{j}+p\vec{k}s=mi+nj+pk，可确定方向数m，n，p

可确定直线方程x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}mx−x0=ny−y0=pz−z0

称为直线的点向式方程，因为其结构对称，也叫做直线的对称式方程

参数式方程

将上述方程转换为参数方程可得

f(x)={x=x0+mty=y0+ntz=z0+ptf(x)=\left\{ \begin{aligned} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt \end{aligned} \right.f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

称为直线的参数式方程，其中t为参数

与点向式方程等价

两点式方程

两个相异点P₀(x₀,y₀,z₀)和P₁(x₁,y₁,z₁)可以确定一条直线

其方程为x−x0x1−x0=y−y0y1−y0=z−z0z1−z0\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}x1−x0x−x0=y1−y0y−y0=z1−z0z−z0

称为直线的两点式方程

一般式方程

两个一般平面的交线对应直线的方程如下

{λ1(A1x+B1y+C1z+D1)=0λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0\left\{ \begin{aligned} \lambda_1(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)=0 \\ \lambda_2(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 \end{aligned} \right.{λ1(A1x+B1y+C1z+D1)=0λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0

坐标满足该方程的点同时在两平面上，这是用两个平面一般式方程描述的直线一般式方程

直线的一般式方程不唯一

方程间转化

当m,n,p中有的数为0时，可以将对称式方程转化为一般式方程

m,n,p中只有一个为0，对应的坐标等于所过点的坐标，如m=0，{x=x0y−y0n=z−z0p\left\{ \begin{aligned} x=x_0 \\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \end{aligned} \right.⎩⎨⎧x=x0ny−y0=pz−z0
m,n,p中有两个为0，如n=p=0，{y=y0z=z0\left\{ \begin{aligned} y=y_0\\ z=z_0 \end{aligned} \right.{y=y0z=z0

将一般式方程转化为对称式方程的一般方法：

假设一个坐标值，求直线上一点
求该直线的方向向量s⃗\vec{s}s
设对称式方程

空间位置关系

平面间位置关系

以下关系全部使用平面一般式Ax+By+Cz+D=0

两平面法向量n₁=(A₁,B₁,C₁)，n₂=(A₂,B₂,C₂)

重合

A1A2=B1B2=C1C2=D1D2\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}A2A1=B2B1=C2C1=D2D1

平行

A1A2=B1B2=C1C2≠D1D2\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq\frac{D_1}{D_2}A2A1=B2B1=C2C1=D2D1

相交

A1:B1:C1≠A2:B2:C2A_1:B_1:C_1\neq A_2:B_2:C_2A1:B1:C1=A2:B2:C2

直线间位置关系

以下结论都使用空间直线的对称式和方向向量

共面判别法

两直线共面的充要条件是两直线的方向向量、直线上各自点的连线向量三者的混合积为0

(s1⃗,s2⃗,P1P2⃗)=0(\vec{s_1},\vec{s_2},\vec{P_1P_2})=0(s1,s2,P1P2)=0

等价于以下方程

∣s1⃗,s2⃗,P1P2⃗∣=0|\vec{s_1},\vec{s_2},\vec{P_1P_2}|=0∣s1,s2,P1P2∣=0

即

∣m1m2x2−x1n1n2y2−y1p1p2z2−z1∣=0\left| \begin{array}{cccc} m_1 & m_2 & x_2-x_1 \\ n_1 & n_2 & y_2-y_1 \\ p_1 & p_2 & z_2-z_1 \end{array} \right|=0 ∣∣∣∣∣∣m1n1p1m2n2p2x2−x1y2−y1z2−z1∣∣∣∣∣∣=0

若上式不成立，则两直线异面

平行

s1⃗//s2⃗\vec{s_1}//\vec{s_2}s1//s2但与P1P2⃗\vec{P_1P_2}P1P2不平行

重合

s1⃗//s2⃗//P1P2⃗\vec{s_1}//\vec{s_2}//\vec{P_1P_2}s1//s2//P1P2

相交

s1⃗\vec{s_1}s1、s2⃗\vec{s_2}s2、P1P2⃗\vec{P_1P_2}P1P2共面但s1⃗\vec{s_1}s1与s2⃗\vec{s_2}s2不平行

方向向量平行判定方法如下：

(x₂-x₁):(y₂-y₁):(z₂-z₁)=m₁:n₁:p₁=m₂:n₂:p₂

直线与平面间位置关系

直线方向向量s⃗=(m,n,p)\vec{s}=(m,n,p)s=(m,n,p)

平面法向量n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)n=(A,B,C)

直线在平面上

方向向量与法向量垂直，s⃗⊥n⃗\vec{s}\perp\vec{n}s⊥n 且直线上一点满足平面的方程

直线与平面平行

方向向量与法向量垂直，s⃗⊥n⃗\vec{s}\perp\vec{n}s⊥n 且直线上一点不满足平面的方程

注意平行和在面上的区别在于直线上某点满不满足平面方程

直线与平面相交

方向向量与法向量不垂直，mA+nB+pC≠0mA+nB+pC\neq0mA+nB+pC=0

直线与平面垂直

方向向量与法向量平行，s⃗//n⃗\vec{s}//\vec{n}s//n

线线角

cosΘ=∣s1⃗s2⃗∣∣s1⃗∣∣s2⃗∣cos\Theta=\frac{|\vec{s_1}\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}cosΘ=∣s1∣∣s2∣∣s1s2∣

Θ=min{θ,π−θ}\Theta=min\{\theta,\pi-\theta\}Θ=min{θ,π−θ}

线面角（范围特殊）

sinA=cos(min{θ,π−θ})=∣s1⃗n1⃗∣∣s1⃗∣∣n1⃗∣sin\Alpha=cos(min\{\theta,\pi-\theta\})=\frac{|\vec{s_1}\vec{n_1}|}{|\vec{s_1}||\vec{n_1}|}sinA=cos(min{θ,π−θ})=∣s1∣∣n1∣∣s1n1∣

A=min{θ,π−θ}\Alpha=min\{\theta,\pi-\theta\}A=min{θ,π−θ}

面面角

cosϕ=∣n1⃗n2⃗∣∣n1⃗∣∣n2⃗∣cos\phi=\frac{|\vec{n_1}\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}cosϕ=∣n1∣∣n2∣∣n1n2∣

ϕ=min{θ,π−θ}\phi=min\{\theta,\pi-\theta\}ϕ=min{θ,π−θ}

点到直线的距离

点P(x₀,y₀,z₀)到直线l(方向向量为s⃗\vec{s}s)的距离用d(P₀,l)表示

d(P0,l)=∣P1P0⃗∣sinθ=∣s⃗×P1P0⃗∣∣s⃗∣d(P_0,l)=|\vec{P_1P_0}|sin\theta=\frac{|\vec{s}\times\vec{P_1P_0}|}{|\vec{s}|}d(P0,l)=∣P1P0∣sinθ=∣s∣∣s×P1P0∣

两平行直线的距离

两平行直线的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离

点到平面的距离

用d(P₀,π)表示点P₀到平面π的距离

d(P0,π)=∣Q0P0⃗∣=∣n⃗⋅P1P0⃗∣∣n⃗∣d(P_0,\pi)=|\vec{Q_0P_0}|=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{P_1P_0}|}{|\vec{n}|}d(P0,π)=∣Q0P0∣=∣n∣∣n⋅P1P0∣

其中Q₀为过P₀点作平面的垂线与平面的交点

与平面平行的直线到平面的距离为其上任意一点到平面的距离
两个平行平面的距离为其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离

两异面直线的距离

公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线

公垂线是过其中一条异面直线且平行于向量n⃗=s1⃗×s2⃗\vec{n}=\vec{s_1}\times\vec{s_2}n=s1×s2的平面与过另一条异面直线也平行于向量n⃗\vec{n}n的平面的交线

公垂线在两异面直线之间的长度就是它们两者之间的距离d(l₁,l₂)

d(l1,l2)=∣n⃗⋅P1P2⃗∣∣n⃗∣=∣(s1⃗,s2⃗,P1P2⃗)∣∣s1⃗×s2⃗∣d(l_1,l_2)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{P_1P_2}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(\vec{s_1},\vec{s_2},\vec{P_1P_2})|}{|\vec{s_1}\times\vec{s_2}|}d(l1,l2)=∣n∣∣n⋅P1P2∣=∣s1×s2∣∣(s1,s2,P1P2)∣

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线性代数笔记【空间向量】

基本概念

线性运算

加减

数乘

投影

向量运算

数量积（点积）

坐标运算

向量积（叉积、内积）

坐标运算

混合积

向量关系

空间坐标系

空间平面及其方程

平面点法式方程

平面一般式方程

平面截距式方程

平面三点式方程

同轴平面束

空间直线及其方程

点向式方程

参数式方程

两点式方程

一般式方程

方程间转化

空间位置关系

平面间位置关系

重合

平行

相交

直线间位置关系

共面判别法

平行

重合

相交

直线与平面间位置关系

直线在平面上

直线与平面平行

直线与平面相交

直线与平面垂直

线线角

线面角（范围特殊）

面面角

点到直线的距离

两平行直线的距离

点到平面的距离

两异面直线的距离

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