CodeForces 1437F Emotional Fishermen（计数dp）

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题目大意：
给 nnn 个正整数数的序列 aia_iai，求有多少种 nnn 个数的排列 apia_{p_i}api，满足 apimaxj=1i−1apj∉(12,2)\frac{a_{p_i}}{max^{i-1}_{j=1}a_{p_j}}\notin (\frac1 2,2)maxj=1i−1apjapi∈/(21,2) 结果对 998244353998244353998244353 取余

题目分析：
因为跟 aia_iai 的大小关系有关所以首先对序列排序，然后在一个长度为 nnn 的空序列上添数
设 dp[i]dp[i]dp[i] 表示当前最大值是 aia_iai 的方案数，此题结果就是 dp[n]dp[n]dp[n] ； pos[i]pos[i]pos[i] 表示满足 ai>=2aja_i>=2a_jai>=2aj 的最大的 jjj
因为对 aaa 序列排序了，所以其前缀最大值一定是不下降的，故 pos[i]pos[i]pos[i] 可以使用单调栈来快速维护出来（pos[i]pos[i]pos[i]显然也是不下降的），所以就可以先把没用过的数天再最大值后面的空位上

转移方程是： dp[i]=∑j=0i−1dp[j]∗An−2−posjposi−posj−1dp[i]= \sum^{i-1}_{j=0} dp[j]*A^{pos_i-pos_j-1}_{n-2-pos_j}dp[i]=j=0∑i−1dp[j]∗An−2−posjposi−posj−1
解释一下方程：第 iii 个数显然会用 pos[i]+1pos[i]+1pos[i]+1 个位置，即前面符合 ai>=2aja_i>=2a_jai>=2aj 的 jjj 个加其本身， n−2−posjn-2-pos_jn−2−posj 就是用所有的 nnn 个位置减去 dp[j]dp[j]dp[j] 用的 pos[j]+1pos[j]+1pos[j]+1 个位置再减去当前最大值要占的位置， posi−posj−1pos_i-pos_j-1posi−posj−1 是指当前可以放 pos[i]pos[i]pos[i] 个位置，在放 dp[j]dp[j]dp[j] 时已经放了 pos[j]+1pos[j]+1pos[j]+1 个位置，所以是 dp[j]dp[j]dp[j] 这个状态的值加上从 n−2−posjn-2-pos_jn−2−posj 个位置里选 posi−posj−1pos_i-pos_j-1posi−posj−1 个位置的排列数量
时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)
具体细节见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
ll read()
{ll res = 0,flag = 1;char ch = getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch == '-') flag = -1;ch = getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){res = (res<<3)+(res<<1)+(ch^48);//res*10+ch-'0';ch = getchar();}return res*flag;
}
const int maxn = 5e3+5;
const int mod = 998244353;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
ll n,a[maxn],fac[maxn],inv[maxn],pos[maxn],dp[maxn];
ll qpow(ll a,ll b)
{ll res = 1;while(b){if(b&1) res = res*a%mod;b >>= 1;a = a*a%mod;}return res;
}
ll A(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%mod;
}int main()
{n = read();fac[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){a[i] = read();fac[i] = fac[i-1]*i%mod;}inv[n] = qpow(fac[n],mod-2);for(int i = n-1;i;i--)inv[i] = inv[i+1]*(i+1)%mod;inv[0] = dp[0] = 1;sort(a+1,a+n+1);int tail = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){while(tail < n && a[i] >= 2*a[tail+1]) tail++;pos[i] = tail;}dp[0] = 1;pos[0] = -1;for(int i = 1;i <= n;i++)for(int j = 0;j <= pos[i];j++)dp[i] = (dp[i]+dp[j]*A(n-2-pos[j],pos[i]-pos[j]-1)%mod)%mod;if(pos[n] == n-1) printf("%lld\n",dp[n]);else puts("0");return 0;
}

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