线性代数1:向量、线性组合、张成的空间和基
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目录
一、什么是向量
1. 向量的表达方式
2. 向量的加法
3. 向量的数乘
二、线性组合、张成的空间和基
1. 坐标系的基
2. 线性组合
3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)
(1)两个二维向量张成的空间
(2)两个三维向量张成的空间
(3)三个三维向量张成的空间
4. 向量和点的关系
一、什么是向量
1. 向量的表达方式
给定两个矩阵,我们很容易就能算出它的结果,但是他的几何意义是什么呢?
对于向量的认识,我们其实在高中阶段就已经接触过,在不同学科有不同的表达方式:
物理学:向量有大小和方向。处于平面中的向量是二维的,我们所生活的空间中的向量是三维的。
计算机:向量是数字列表,比如对房价进行建模,共有面积和价格两个特征,他们就可以组成二维向量。
数学:向量可以是任何东西,只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。
在物理学中,向量可以在任何位置(向量是空间中的箭头);但是在线性代数中,向量经常以原点作为起点。
向量是有序的数字列表:我们可以利用坐标系来理解这个概念。
三维空间中的向量有三个数来表达,2:代表这个数沿着平行x轴走多远,1:代表这个数沿着平行y轴走的距离; 3:代表这个数沿着z轴走的距离。每一个向量恰好对应唯一的一个三元数组。
2. 向量的加法
向量的加法符合三角形法则。
为什么向量的加法要这样定义呢?其实二维平面向量的加法运算可以看为在数轴上运算的拓展。
如下图所示,先向右移动2步,再向右移动5步的总体效果与向右移动7步一样。
类比到二维空间。第一个向量的坐标是(1,2),第二个向量的坐标是(3,-1),当你用向量首尾连接的方法计算向量之和时,向量之和可以把它看做一个从原点出发,到第二个向量终点的四步运动。可以看做先沿着x轴走了4步,然后沿着y轴走了1步。
所以向量之和相加的结果就是对应的x向量相加,以及对应的y向量相加。
3. 向量的数乘
比如一个向量前面乘以1/3,相当于这个向量的长度缩短为原来的1/3。如果是与-1.8相乘,相乘后的结果是这个向量首先反向,然后伸长为原来的1.8倍。
这种拉伸或者压缩,有时又使向量反向的过程称为“缩放”。几何角度看是缩放,实际上就是数乘。这个数字就叫标量。
数字与向量相乘,相当于将其每个分量都分别与数字相乘。
线性代数围绕两种基本运算:向量的加法与向量的数乘。
二、线性组合、张成的空间和基
1. 坐标系的基
i和j向量长度都为1.
如果我们任意选择两个向量为基向量,我们可以根据这两个向量得到空间中任何向量。
当我们使用数字描述向量时,他是依赖于我们正在使用的基。不同的基向量的表达数字也不一样。
2. 线性组合
线性组合:两个数乘向量的组合被称为这两个向量的线性组合。
如果固定一个标量,让另一个标量自由变化,所产生的向量的重点会描出一条直线。下图是分别固定w和v向量的标量后的变化情况。
3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)
(1)两个二维向量张成的空间
向量张成的空间通俗的解释:仅通过向量的加法与向量的数乘这两种基础运算,你能获得的所有可能的向量集合是什么?
比如如果v和w向量不共线,他们向量张成的空间就是一个二维平面。通过加法和数乘运算后的向量的终点可能在二维平面的任意位置。
如果v和w向量共线,那他们向量张成的空间就是一条直线。终点始终落在一条直线上。
对大部分二维向量对来说,他们张成的空间是整个无限大的二维平面。但是如果贡献,他们张成的空间就是一条直线。
(2)两个三维向量张成的空间
两个三维向量张成的空间是什么样的呢?
(这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合,也就是缩放再相加之后的所有可能得到的向量)
最终得到的向量的终点会画出三维空间中某个过原点的平面。这个平面就是这两个三维向量张成的空间。换句话说,所有终点落在这个平面上的向量的几何是这两个向量张成的空间。
(3)三个三维向量张成的空间
那么三个三维向量张成的空间是什么样的呢?(选择三个标量,对三个向量分别进行缩放,然后再相加)
一共有两种情况:
[1] 如果第三个向量恰好落在前面两个向量所张成的平面上,或者其中有两个向量刚好共线。即一组向量中至少有一个是多余的,没有对张成空间做出任何贡献。你有多个向量,并且可以移除其中一个而不减小张成的空间,这种情况下,我们称他们为线性相关的。这个向量可以表示为其他向量的线性组合,因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。
[2] 如果向量都给张成的空间增添了新的维度,它们就被称之为“线性无关”的
4. 向量和点的关系
当我们在二维平面用向量的方式表达时,当所有的二维向量铺满平面时,你会觉得非常拥挤。为了应付这种情况,通常我们就用向量的终点代表该向量(起点仍然位于原点)。
实际上,你就不必考虑所有的箭头了,只需要考虑无限大的二维平面本身即可。
当你只用考虑一个向量时,可以把它看做一个箭头;当考虑多个向量时,可以把它看做点。
向量中一组基的严格定义:张成该空间的一个线性无关向量集。
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