算法导论15.1动态规划之钢条切割

动态规划与钢条切割

1.分治算法与动态规划

相同点：

都是通过组合子问题的解来求解原问题

不同：

1.分治将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，在将它们的解组合起来，求出原问题。

2.动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子文问题具有公共的子问题。（这种情况下，分治会反复求解那些共子问题，而动态规划将每个子问题的解保存在表格中，从而无需重复计算子问题）

2.钢条切割

问题：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,3,…,n)p_i(i=1,2,3,…,n)pi(i=1,2,3,…,n),求切割钢条的方案使收益最大

设计动态规划的过程：

刻画一个最优子结构的特征–>递归地定义最优解的值–>计算最优解的值（通常使用自底向上的方法）

–>利用计算的信息构造最优解
切割方案：2n−12^{n-1}2n−1

在距离钢条左端i(i=1,2,3,…,n)i(i=1,2,3,…,n)i(i=1,2,3,…,n)处，我们总可以选择切割或不切割
描述切割“长度为n的钢条”的最大收益 rnr_nrn（刻画一个最优解的结构特征）

设最优解将钢条切割成k段，最优切割方案为： n=i1+i2+i3+…ikn=i_1+i_2+i_3+…i_kn=i1+i2+i3+…ik,

则有最大收益： rn=pi1+pi2+…+pinr_n=p_{i_1}+p_{i_2}+…+p_{i_n}rn=pi1+pi2+…+pin
利用更短的钢条的最优切割来描述rnr_nrn： （递归地定义最优解的值）

rn=max(pn,r1+rn−1,r2,rn−2,…rn−1+r1)r_n=max(p_n,r_1+r_{n-1},r_2,r_{n-2},…r_{n-1}+r_1)rn=max(pn,r1+rn−1,r2,rn−2,…rn−1+r1)

1.第一个参数对应不切割，直接出售长度为n英寸的钢条

2.其他参数对应将钢条切成i和n-i的两端的各个切法
最优子结构特征

我们称钢条切割问题满足最优子结构的特征：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解
简化 rnr_nrn的递归定义

rn=max⁡0≤x≤n(pi+rn−i)r_n=\max_{0 \leq x \leq n} (p_i+r_{n-i})rn=max0≤x≤n(pi+rn−i)

即钢条的切割方式为：从左边切下长度为i的一段（且不再进行切割），从右边切下长度为n-i的一段，继续进行切割。若没有切割，则第一段长度为n,收益为 pnp_npn,第二段长度为0，收益为0；

3.自定向下递归实现

int cutRod(int price[], int n){if(n==0)return 0;int max_val = INT_MIN;for(int i=0;i<n;i++){max_val =max( max_val,p[i]+cutRod(price,n-i));} return max_val;
}

可以看到CUT-ROD反复求解重复子问题，设T(0)=1,有

利用归纳法可以证明 T(n)=2nT(n)=2^nT(n)=2n

4.使用动态规划求解

两种等价的实现方法：

带备忘录的自定向下法

此方法仍然按照自然的递归形式编写，但过程会保存每个子问题的解。当需要一个子问题的解时，过程首先检验是否保存过此解。
自底向上法

任何子问题的求解都依赖更小的子问题的求解，当求解某个子问题时，它所依赖的更小子问题都已求解完毕


#include<iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#include<math.h>
using namespace std;// A utility function to get the maximum of two integers
int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b;}/* Returns the best obtainable price for a rod of length n and
price[] as prices of different pieces */
int cutRod(int price[], int n)
{
int val[n+1];
val[0] = 0;
int i, j;// Build the table val[] in bottom up manner and return the last entry
// from the table
for (i = 1; i<=n; i++)
{int max_val = INT_MIN;for (j = 0; j < i; j++)max_val = max(max_val, price[j] + val[i-j-1]);val[i] = max_val;
}return val[n];
}/* Driver program to test above functions */
int main()
{int arr[] = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20};int size = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);cout <<"Maximum Obtainable Value is "<<cutRod(arr, size);getchar();return 0;
}

5.子问题图

我们可以将动态规划方法的子问题图看成自定向下递归树的“收缩版”，所有相同子问题合并为同一节点。

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