【动态规划】钢条切割问题

本人在学习《算法导论》的过程中，对于动态规划这部分的内容不是特别理解，于是决定做一下学习与解决记录，欢迎讨论交流。

文章目录

0- 动态规划问题的一般步骤
1- 问题描述
2-问题分析
3-自顶向下递归实现
4-使用动态规划的方法求解
5-重构解

0- 动态规划问题的一般步骤

1- 刻画一个最优解的结构特征
2- 递归定义最优解的值
3- 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法
4- 利用计算出的信息构造一个最优解

1- 问题描述

Serling 公司购买长钢条，将其切割为锻钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道Serling公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为pi(i = 1, 2,…,单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。下表给出了一个价格表的样例。

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格p(i)	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

2-问题分析

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p(i)(i = 1, 2,…,n),求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。注意如果长度为n英寸的钢条价格p(n)足够大，最优解可能是完全不需要切割。

考虑n=4的情况。下图给出了4英寸钢条的所有可能切割方案，包括根本不切割的方案。从下图可以看出，将一段长度为4英寸的钢条切割为两段各长为2英寸的钢条，将产生p(2)+p(2)=5+5=10的收益，为最优解。

图1 钢条切割方案

对于最优收益r_n(n≥1)可以用更短的钢条的最优收益来描述：

r_n = max(p_n,r₁+r_n-1,r₂+r_n-2,...,r_n-1+r₁)

第一个参数p_n对应不切割，直接出售长度为n英寸的钢条的方案。其中n-1个参数对应另外n-1种方案：对每个i = 1, 2, …, n-1,首先将钢条切割为i和n-i的两段，接着求解这两段的最优切割收益r_i和r_{n -i}（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和）。由于无法预知那种方案的将获得最佳收益，所以必须考虑所有可能的i，选取其中的收益最大者。如果直接出售圆钢条会获得最大收益，当然可以不做任何切割。

可以看出，通过组合两个子问题（完成首次切割之后，即将问题转化为求解两个独立的钢条切割问题实例）的最优解，并在所有可能得两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。

钢条问题是满足最优子结构的（optimal substructure） 性质的：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而且这些子问题可以独立求解。

3-自顶向下递归实现

简单的递归求解方法： 将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩余的长度为n-i的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段则不再进行切割。问题的分解方式为：将长度为n的钢条分解为左边的开始一段，以及剩余部分继续分解的结果。这样，不做任何切割的方案可以描述为：第一段的长度为你n，收益为p_n，剩余部分的长度为0，对应的收益r₀=0。 于是可以得到如下公式：

r_n = max(p_i +r_n-i)

原问题的最优解只包含一个相关子问题（右边剩余部分）的解。下面给出朴素递归算法的解：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> price{1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//钢条对应的价格int CutRod(vector<int> &price, int length){if(length == 0) return 0;//如果钢条长度为0，直接返回int maxvalue = INT_MIN;//因为钢条价格为正值，所以首先默认maxvalue为最小值for(int i = 1; i <= length; ++i){//取前一次迭代算得的maxvalue与本次迭代结果的最大值//迭代：当前钢条段的价值 + 剩余右边钢条的价值//（这里因为下标从0开始，所以有-1）maxvalue = max(maxvalue, price[i - 1] + CutRod(price, length - i));}return maxvalue;
}
int main() {int length = 0;cin >> length;cout << "maxvalue: " << CutRod(price,length)<<endl;return 0;
}

以上利用纯递归调用的方法效率很差，运行时间会呈爆炸性增长。可以取n = 4绘制递归调用树进行观察：

图2 n = 4的递归调用树

这棵递归调用树共有2ⁿ个结点，其中有2^n-1 个叶结点。

4-使用动态规划的方法求解

动态规划有两种等价的实现方法：
1- 带备忘录的自顶向下法（top-down with memoization） ：此方法仍然按照自然的递归形式编写，但过程会保存每个子问题的解。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；否则，按通常方式计算这个子问题。

2-自底向上法（bottom-up method）：这种问题一般需要恰当定义子问题的“规模”的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们求解该问题时（第一次遇到），其所有的子问题均已求解完毕。

带备忘录的自顶向下法，备忘机制

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> price{1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//钢条对应的价格int MemoCutRodAux(vector<int> &price,vector<int> &memoprice,int cutlength){int  maxvalue = INT_MIN;if(memoprice[cutlength] >= 0){return memoprice[cutlength];//入口进行检查，看所需值是否已知，如果是，则直接返回保存的值}     if(cutlength == 0) { maxvalue = 0; }else{for(int j = 1; j <= cutlength; ++j){maxvalue = max(maxvalue, price[j - 1] + MemoCutRodAux(price, memoprice, cutlength - j));}}memoprice[cutlength] = maxvalue;return memoprice[cutlength];
}int MemoCutRod(vector<int> &price,int length){vector<int> memoprice{};for(int i = 0; i <= length; ++i){//特别注意的是，备忘录是包含长度为0的情况的，所以范围是[0,length]memoprice.push_back(INT_MIN);//已知收益非负，所以可以这样处理“未知值”}return  MemoCutRodAux(price,memoprice,length);
}int main() {int length = 0;cin >> length;cout << "MemoCutRod maxvalue: " << MemoCutRod(price,length)<<endl;return 0;
}

自底向上方法：采用子问题的自然顺序，若i < j，则规模为i的子问题比规模为j的子问题“更小”，因此过程依次求解规模为j= 0, 1， …， n的子问题

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> price{1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//钢条对应的价格int BottomUpCutRod(vector<int> &price, int length){vector<int> value(length + 1);value[0] = 0;//长度为0即没有收益for(int j = 1; j <= length; ++j){int maxvalue = INT_MIN;for(int i = 1; i <= j; ++i){maxvalue = max(maxvalue,price[i - 1] + value[j - i]);//直接访问存好的解，来获得j-i这一子问题的解，省去了递归调用}value[j] = maxvalue;//规模为j的子问题的解直接存入}return value[length];}int main() {int length = 0;cin >> length;cout << "BottomUpCutRod maxvalue: " << BottomUpCutRod(price,length)<<endl; return 0;
}

5-重构解

上面的解决方法中知识返回了切割问题的最优解的收益值，但并没有返回解本身（一个长度列表，给出切割后每段钢条的长度）。下面对算法进行扩展，以输出最优解的切割方案：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> price{1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//钢条对应的价格typedef struct {//结构体进行数据保存vector<int> value{};vector<int> cutlen{};
}stResult;stResult ExtendedBottomUpCutRod(vector<int> &price, int length){stResult stresult;vector<int> valuetmp(length + 1);vector<int> cutlentmp(length + 1);stresult.value = valuetmp;stresult.cutlen = cutlentmp;stresult.value[0] = 0;for(int j = 1; j <= length; ++j){int maxvalue = INT_MIN;for (int i = 1; i <= j; ++i){if( maxvalue < price[ i -1] + stresult.value[j - i]){maxvalue = price[ i -1] + stresult.value[j - i];stresult.cutlen[j] = i;//保存最优切割方案}}stresult.value[j] = maxvalue;}return stresult;
}int main() {int length = 0;cin >> length;stResult stresult = ExtendedBottomUpCutRod(price,length);while(length > 0){cout<<stresult.cutlen[length]<<" ";//输出最佳切割方案length = length - stresult.cutlen[length];}return 0;
}

对上面的解决方案，ExtendedBottomUpCutRod(price,10)会返回如下的表格：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
value[i]	0	1	5	8	10	13	17	18	22	25	30
cutlen[i]	0	1	2	3	2	2	6	1	2	3	10

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