浅析信号与系统2（离散时间复指数序列的周期性质）

虽然连续时间信号与离散时间信号有许多相似之处，但是也存在一些重要的差别。我们首先来看下离散时间指数信号 $e^{iw_0n}$ 。在浅析信号与系统1（指数信号与正弦信号）中，与其对应的连续时间信号 $e^{iw_0t}$ 具有以下两个性质：（1） $w_0$ 愈大，信号振荡的速率愈高；（2） $e^{iw_0t}$ 对任何 $w_0$ 值都是周期的。现在，将在这两点上来考察一下 $e^{iw_0n}$ ，就会看到在这两个性质上，两者是肯定不一样的。

第一个性质的不同直接来自于离散时间和连续时间复指数信号之间另一个极为重要的不同之处。为此，研究一下频率为 $w_0 + 2\pi$ 的离散时间复指数信号：

$e^{i(w_0+2\pi)n} = e^{i2\pi n}e^{iw_0n} = e^{iw_0n}$ （1）

上式表明，离散时间复指数信号在频率 $w_0 + 2\pi$ 与频率 $w_0$ 时是一样的。这一点和连续时间复指数信号 $e^{iw_0t}$ 是完全不同的，在那里，不同的 $w_0$ 就对应着不同的信号；而在离散时间情况下，具有频率为 $w_0$ 的复指数信号与 $w_0 \pm 2\pi, w_0 \pm 4\pi, ...$ 等等这些频率的复指数信号则是一样的。因此，在考虑这种离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个 $2\pi$ 间隔内选择 $w_0$ 就行了。虽然从上式（1）来看，任何 $2\pi$ 间隔都是可以的，但在大多数情况下总是利用 $0 \leq w_0 \textless 2\pi$ ，或者 $-\pi \leq w_0 \textless \pi$ 这样一个区间。
由于上式（1）指出的周期性质， $e^{iw_0n}$ 就不具有随 $w_0$ 在数值上的增加而不断增加其振荡速率的特性。事实上如下图所示，而是随着 $w_0$ 从0开始增加，其振荡速率越来越快，直到 $w_0 = \pi$ 为止，然后若继续增加 $w_0$ 的话，其振荡频率就下降，直到 $w_0 = 2\pi$ 为止，这时又得到与 $w_0=0$ 时同样的结果（常数序列）。因此离散时间复指数的低频部分（也就是缓慢变化）是 $w_0$ 在 $0, 2\pi$ 和任何其他 $\pi$ 的奇数倍值附近。值得注意的是，在 $w_0 = \pi$ 或任何其它 $\pi$ 的奇数倍处有

$e^{i\pi n} = (e^{i\pi})^n = (-1)^n$ ，以致于信号在每一点上都改变符号，产生剧烈震荡。如下图(e)所示

要讨论的第二个性质是关于离散时间复指数信号的周期性问题。为了使信号 $e^{iw_0n}$ 是周期的，周期为 $N > 0$ ，就必须有 $e^{iw_0(\pi + N)} = e^{iw_0n}$ 这就等效要求 $e^{iw_0N} = 1$ ，为了使上式成立， $w_0N$ 必须是 $2\pi$ 的整数倍，也就是说必须有一个整数 $m$ ，使下式满足 $w_0 N = 2\pi m$ 或者 $\frac{w_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ 。

根据上式，若 $\frac{w_0}{2\pi}$ 为一有理数， $e^{iw_0n}$ 就是周期的，否则就不是周期的。这一结论对离散时间正弦信号也是成立的。例如下图的(a), (b) 就是周期的，(c) 是非周期的

根据上面的讨论，我们来求离散时间复指数信号的基波周期和基波频率。基波周期和基波频率的定义和连续时间情况一样，即如果 $x[n]$ 是一个周期序列，基波周期为 $N$ ，则它的基波频率就是 $2\pi / N$ 。这样，我们来考虑一个周期复指数信号 $x[n] = e^{iw_0n}$ ，其中 $w_0 \neq 0$ 。正如刚才所证明的，一定有若干对 $m$ 和 $N(N>0)$ 存在，满足 $\frac{w_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ （如果N和m没有公共因子，那么 $x[n]$ 的基波周期就是N）。将这一点再与 $\frac{w_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ 结合起来，可以求得周期信号 $e^{iw_0n}$ 的基波频率就是 $\frac{2\pi}{N} = \frac{w_0}{m}$ 。当然，基波周期也能写为 $N = m(\frac{2\pi}{w_0})$ 。这两个式子与连续时间情况下所对应的的 $T_0 = \frac{2\pi}{\left | w_0 \right |}$ 。下表综合了 $e^{iw_0t}$ 和 $e^{iw_0n}$ 之间的一些不同点。当然，若 $w_0$ = 0，基波频率为0，基波周期无定义，这有连续时间情况下是相同的。

为了加深对以上性质的理解，再来考察下图的几个信号。

首先，上图（a）中的序列 $x[n] = cos(2\pi n/12)$ 可以看作是连续时间正弦信号 $x(t) = cos(2\pi t/12)$ 在整数时刻点上的样本值。这时， $x(t)$ 是基波周期为12的周期序列。也就是说， $x[n]$ 的值每个12个点都重复，这与 $x(t)$ 的基波周期是完全同步的。

与此相反，上图（b）中的序列 $x[n] = cos(8\pi n / 31)$ ，这可以当作是 $x(t)=cos(8\pi t/31)$ 在整数时刻点上的样本值。这时， $x(t)$ 是基波周期为 31/4 的周期信号；另一方面， $x[n]$ 却是基波周期为 31的周期序列。造成这种差别的原因是离散时间信号仅能在自变量的整数值上有定义所致。于是，当 $x(t)$ 从 t=0开始完成一个整周期时，在时刻 t=31/4上不能取得样本值。类似地，在 t=2(31/4) 和

t=3(31/4)上，即当 x(t) 走完两个或三个整周期时，也不存在样本点。但是，在x(t) 走完四个整周期时，即 t=4(31/4) = 31，才有的整数的样本点，可取得样本值。这一点从图(b)中能看出，x[n] 的值变化并不随着 x(t) 每单个周期重复，而是每隔4个周期，即每隔31点才重复。

同样，信号 $x[n] = cos(n/6)$ 能看作是信号 $x(t) = cos(t/6)$ 在整数点时的样本值。这时，x(t)的值在整数时刻点永不重复，因为这些样本点从来也不会落在 x(t)的周期 $12\pi$ 及其倍数的点上，因此 $x[n]$ 不是周期的。虽然人眼看起来好像是周期的，其实这是由于人眼在样本点间进行内插，看到了它的包络 x(t)的结果。

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