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第一章离散时间信号与系统
- 离散时间信号
- - 几种常见的信号
  - 离散周期序列
  - 序列的运算
- 离散时间信号的傅里叶变换和z变换
- - 离散时间信号灯的傅里叶变换
  - 性质
  - z变换
  - 逆z变换
  - z变换的性质
  - z变换域DTFT的关系
  - Parseval定理
- 离散时间系统
- - 线性系统
  - 时不变系统
  - 线性时不变系统
  - 稳定系统和因果系统

第一章离散时间信号与系统

离散时间信号

离散时间信号常用序列来表示。序列是时间上不连续的一串样本值的几何{x(n)},n为整型变量，n为整型变量，x(n)表示序列中的第n个样本值符号，{⋅\cdot⋅}表示全部样本值的集合
{x(n)}既可以使实数序列，也可以是复数序列。{x(n)}的复共轭序列用{x*(n)}表示，为方便通常去掉{}
用x(n)表示序列

离散时间信号x(n)是从连续时间信号xa(t)x_a(t)xa(t)采样得到的，对于等时间间隔的采样(均匀采样)
x(n)=xa(t)∣t=nT=xa(nT)x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT)x(n)=xa(t)∣t=nT=xa(nT)
T表示两个样本间的时间间隔称作采样周期，采样周期的倒数称为采样频率，即fs=1Tf_s=\frac{1}{T}fs=T1

几种常见的信号

1.单位脉冲序列

δ(n)={1,n=00,n≠0\delta(n) =\begin{cases} {1,n=0}\\ {0,n \neq 0} \end{cases}δ(n)={1,n=00,n̸=0

序列δ(n)\delta(n)δ(n)又称为离散冲激，或简称为冲激。它的作用类似于模拟系统中的单位冲激函数δ(t)\delta(t)δ(t)
但δ(t)\delta(t)δ(t)是非现实的信号，而δ(n)\delta(n)δ(n)是现实的序列

2.单位阶跃序列

u(n)={1,n≥00,n<0u(n) =\begin{cases} {1,n\geq0}\\ {0,n < 0} \end{cases}u(n)={1,n≥00,n<0

类似连续时间信号中的单位阶跃信号

3.矩形序列

RN(n)={1,0≤n≤N−10,n<0,n≥NR_N(n) =\begin{cases} {1,0\leq n\leq N-1}\\ {0,n < 0,n \geq N} \end{cases}RN(n)={1,0≤n≤N−10,n<0,n≥N

从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余为零

4.实指数序列

x(n)=anu(n)x(n)=a^nu(n)x(n)=anu(n)

式中，a为不等于0的任意实数，当|a|<1时，序列收敛，当|a|>1时，序列发散

5.正弦序列

x(n)=sin(ω0n)x(n)=sin(\omega_0 n)x(n)=sin(ω0n)

ω0\omega _0ω0是数字域角频率，单位是rad(弧度)

6.复指数序列

x(n)=(rejω0)n=rn[cos(ω0)+jsin(ω0n)]x(n)=(re^{j\omega_0})^n=r^n[cos(\omega_0)+jsin(\omega_0 n)]x(n)=(rejω0)n=rn[cos(ω0)+jsin(ω0n)]

复指数序列的底数a=rejω0a=re^{j\omega_0}a=rejω0,当r=1时，x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列
复指数序列可以用其幅度和相位表示，也可以用实部进而虚部来表示

离散周期序列

对于一个周期为N的离散周期序列记做x‾(n)\overline{x}(n)x(n)(顶上应该是波浪线，没有固用横线代替)
x‾(n)=x‾(n+kN)，0≤n≤N−1,k为任意正整数\overline{x}(n)=\overline{x}(n+kN)，0\leq n\leq N-1,k为任意正整数x(n)=x(n+kN)，0≤n≤N−1,k为任意正整数

讨论x(n)=sin(ω0n)x(n)=sin(\omega_0 n)x(n)=sin(ω0n)的周期性
则x(n+N)=sin(ω0(n+N))x(n+N)=sin(\omega_0(n+N))x(n+N)=sin(ω0(n+N))
满足ω0N=2πi\omega_0 N=2\pi iω0N=2πi,i为整数时，根据定义
x(n)=x(n+N)x(n)=x(n+N)x(n)=x(n+N)
所以sin(\omega_0 n)为周期序列，周期是N=2πiω0N=\frac{2\pi i}{\omega_0}N=ω02πi,当i=1时，NN=2πω0N=\frac{2\pi }{\omega_0}N=ω02π成了最小的函数周期
对于复指数序列，当r=1时周期性与正弦序列相同

序列的运算

(1)序列的相加
两个长度相等的序列x(n),y(n),则z(n)=x(n)+y(n)表示这两个序列的相加。
(2)序列的相乘
f(n)=x(n)y(n),将两序列逐值相乘形成新序列
(3)序列的移位
序列x(n)平移n0n_0n0个序数，可以表示为y(n)=x(n−n0)y(n)=x(n-n_0)y(n)=x(n−n0).n0>0n_0>0n0>0时，y(n)是x(n)的延迟，n0<0n_0<0n0<0时，y(n)超前x(n)
(4)序列的能量以及序列的绝对值
序列的能量定义
S=∑n=−∞∞∣x(n)∣2S=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2S=n=−∞∑∞∣x(n)∣2
如果序列的能量满足
∑n=−∞∞∣x(n)∣2<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2<\inftyn=−∞∑∞∣x(n)∣2<∞
则x(n)x(n)x(n)为平方可和序列。
如果序列x(n)满足
∑n=−∞∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\inftyn=−∞∑∞∣x(n)∣<∞
则x(n)x(n)x(n)为绝对可和序列
如果一个序列x(n)的每一个样本的绝对值均小于某一个有限的正整数BxB_xBx,则x(n)为有界序列，即
∣x(n)∣≤Bx≤∞|x(n)|\leq B_x\leq\infty∣x(n)∣≤Bx≤∞
(5)实序列的偶部和奇部
对于所有的n，有x(n)=x(-n),则x(n)称为偶序列，x(n)=-x(-n),则x(n)称为奇序列
任何序列均可以分解成偶对称序列和奇对称序列
x(n)=xe(n)+xo(n)x(n)=x_e(n)+x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n)x_e(n)xe(n)和xo(n)x_o(n)xo(n)也分别称为x(n)的偶部和奇部，它们分别等于
xe(n)=12[x(n)+x(−n)]x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x(-n)]xe(n)=21[x(n)+x(−n)]
xo(n)=12[x(n)−x(−n)]x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x(-n)]xo(n)=21[x(n)−x(−n)]
(6)任意序列的单位脉冲序列表示
任一新序列都可以表示成单位脉冲蓄力的移位的加权和，即
x(n)=∑m=−∞∞x(m)δ(n−m)x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n-m)x(n)=∑m=−∞∞x(m)δ(n−m)

离散时间信号的傅里叶变换和z变换

离散时间信号灯的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换即DTFT(discrete-time Fourier transform)
序列x(n)的DTFT定义为
X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}X(ejω)=n=−∞∑∞x(n)e−jωn
（类似傅里叶级数）
式中，ω\omegaω为数字角频率，它是频率f对采样频率fs作归一化后的角频率
ω=2πffs\omega=\frac{2\pi f}{f_s}ω=fs2πf
X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)是ω\omegaω的连续函数，并且是以2π2\pi2π为周期的
上式级数不一定收敛，如单位阶跃序列
收敛的充分条件是
∑n=−∞∞∣x(n)e−jωn∣=∑n=−∞∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)e^{-j\omega n}|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty∑n=−∞∞∣x(n)e−jωn∣=∑n=−∞∞∣x(n)∣<∞
即x(n)绝对可和，则它的DTFT一定存在。同时，也可以推断，有限长序列总是满足绝对可和条件的，其DTFT也总是存在的。
用ejωme^{j\omega m}ejωm乘以定义式的凉拌，并在ω\omegaω的一个周期的积分
可得
∫−ππX(ejω)ejωmdω=∫−ππ[∑n=−∞∞x(n)e−jωn]ejωm\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega =\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}]e^{j\omega m}∫−ππX(ejω)ejωmdω=∫−ππ[n=−∞∑∞x(n)e−jωn]ejωm
=∑n=−∞∞x(n)∫−ππejω(m−n)dω=2π∑n=−∞∞x(n)δ(m−n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega (m-n)}d\omega=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(m-n)=n=−∞∑∞x(n)∫−ππejω(m−n)dω=2πn=−∞∑∞x(n)δ(m−n)
即x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωndωx(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi }X(e^{j\omega})e^{j\omega n }d\omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωndω
这就是离散时间信号的逆傅里叶变换(IDTFT)
对应关系
X(ejω)=DTFT[x(n)]X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)]X(ejω)=DTFT[x(n)]
x(n)=IDTFT[X(ejω)]x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega})]x(n)=IDTFT[X(ejω)]

一般来说，X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)是实变量ω\omegaω的复函数，可以用实部和虚部表示
X(ejω)=Re[X(ejω)]+jIm[X(ejω)]X(e^{j\omega})=Re[X(e^{j\omega})]+jIm[X(e^{j\omega})]X(ejω)=Re[X(ejω)]+jIm[X(ejω)]
也可以用幅度和相位表示
X(ejω)=∣X(ejω)∣ejφ(ω)X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}X(ejω)=∣X(ejω)∣ejφ(ω)

性质

信号与系统中有详述

z变换

z变换的定义式
X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n
式中，z是复变量，也可记Z[x(n)]=X(z)\mathscr{Z}[x(n)]=X(z)Z[x(n)]=X(z)
对于所有的序列，z变换并不总是收敛的。收敛区域是
Rx−<∣z∣<Rx+R_{x-}<|z|<R_{x+}Rx−<∣z∣<Rx+(一般Rx−R_{x-}Rx−可以小到0，Rx+R_{x+}Rx+可以大到∞\infty∞)

收敛域的讨论
(1)有限长序列。
仅有有限个数的序列值是非零值，从而
X(z)=∑n=n1n2x(n)z−nX(z)=\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}X(z)=∑n=n1n2x(n)z−n
式中，n1n_1n1和n2n_2n2是有限整数，收敛域至少是0<|z|<∞\infty∞
(2).右边序列。右边序列是n<n1n_1n1时x(n)=0的序列，z变换为
X(z)=∑n=n1∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=n_1}^{\infty}x(n)z^{-n}X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n
右边序列的收敛区域是一个半径为Rx−R_{x-}Rx−,即
|z|>Rx−R_{x-}Rx−
若n1≥n_1\geqn1≥,则z变换在z=∞\infty∞处收敛,反之，若n1n_1n1<0,则它在z=∞\infty∞处将不收敛
(3)左边序列。左边序列是n>n2n_2n2时x(n)=0的序列，z变换为
X(z)=∑n=−∞n2x(n)z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n}X(z)=∑n=−∞n2x(n)z−n
左边序列的收敛区域是一个圆的内部，即
|z|<Rx+R_{x+}Rx+
若n2n_2n2<0,则左边序列的z变换在z=0处收敛
(4)双边序列。一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域就是这两个序列z变换的公共收敛区间
X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n+∑n=−∞n2x(n)z−nX(z)=\sum_{n=n_1}^{\infty}x(n)z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n}X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n+∑n=−∞n2x(n)z−n
所以收敛域为
Rx−<∣z∣<Rx+R_{x-}<|z|<R_{x+}Rx−<∣z∣<Rx+
若Rx−>Rx+R_{x-}>R_{x+}Rx−>Rx+,则没有公共区域，不能收敛

逆z变换

公式
x(n)=12πj∮CX(z)zn−1dzx(n)=\frac{1}{2\pi j }\oint_{C}X(z)z^{n-1}dzx(n)=2πj1∮CX(z)zn−1dz

直接用公式求很麻烦，具体求解在信号与系统里有

z变换的性质

具体在信号与系统里

z变换域DTFT的关系

一个序列x(n)的z变换是
X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n
DTFT是
X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jnωX(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega}X(ejω)=n=−∞∑∞x(n)e−jnω
令z=ejωz=e^{j\omega}z=ejω
X(z)∣z=ejω=∑n=−∞∞x(n)e−jnωX(z)|z=e^{j\omega}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega}X(z)∣z=ejω=n=−∞∑∞x(n)e−jnω
可以看出，当z=ejωz=e^{j\omega}z=ejω时，z变换和DFTF相等。也就是说，采样序列圆上的z变换就等于该采样序列的DTFT。由于ejω=ej(ω+2kπ)e^{j\omega}=e^{j(\omega+2k\pi)}ejω=ej(ω+2kπ),所以X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)是以2π2\pi2π为周期的周期函数，z平面单位圆上的一周正好对应X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)的一个周期

Parseval定理

离散时间系统

将输入序列映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。记为
y(n)=T[x(n)]y(n)=T[x(n)]y(n)=T[x(n)]

线性系统

满足叠加原理

时不变系统

T[x(n)]=y(n)T[x(n)]=y(n)T[x(n)]=y(n)
T[x(n−n0)]=y(n−n0)T[x(n-n_0)]=y(n-n_0)T[x(n−n0)]=y(n−n0)
x(n)移位和变换后移位是等效的

线性时不变系统

单位脉冲响应可以表示为
h(n)=T[δ(n)]h(n)=T[\delta(n)]h(n)=T[δ(n)]
根据上式可以得到任一输入序列x(n)的响应
y(n)=T[x(n)]=T[∑k=−∞∞x(k)δ(n−k)]y(n)=T[x(n)]=T[\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\delta(n-k)]y(n)=T[x(n)]=T[k=−∞∑∞x(k)δ(n−k)]
由于系统是线性的，所以
y(n)=∑k=−∞∞x(k)T[δ(n−k)]y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)T[\delta(n-k)]y(n)=k=−∞∑∞x(k)T[δ(n−k)]
由于系统是时不变的，即有T[δ(n−k)]=h(n−k)T[\delta(n-k)]=h(n-k)T[δ(n−k)]=h(n−k)
从而得到
y(n)=∑k=−∞∞x(k)h(n−k)=x(n)∗h(n)y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n-k)=x(n)* h(n)y(n)=k=−∞∑∞x(k)h(n−k)=x(n)∗h(n)

matlab 中离散用conv函数

稳定系统和因果系统

只要输入序列是有界的，其输出必定是有界的，这样的系统称为稳定系统。稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应应绝对可和，即
∑n=−∞∞∣h(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\inftyn=−∞∑∞∣h(n)∣<∞

因果系统就是系统的输出y(n)取决于此时，以及此时以前的输入，即x(n),x(n-1),x(n-2)等。相反，如果系统的输出y(n)不仅取决于现在和过去的输入，而且取决于未来的输入，如x(n+1),x(n+2)等，这在时间上就违背了因果规律

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第一章离散时间信号与系统

离散时间信号

几种常见的信号

离散周期序列

序列的运算

离散时间信号的傅里叶变换和z变换

离散时间信号灯的傅里叶变换

性质

z变换

逆z变换

z变换的性质

z变换域DTFT的关系

Parseval定理

离散时间系统

线性系统

时不变系统

线性时不变系统

稳定系统和因果系统

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z变换

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