信号与系统—周期复指数信号

周期复指数信号重要性在于其可以作为基本的信号构造单元来构造许多其他信号(大多数周期信号都可以由一系列成谐波关系的周期复指数信号线性组合而成）。至于如何构造可以学习卷积和傅里叶级数相关内容，本文中主要对复指数信号进行总结，包括连续时间周期复指数信号和离散时间复指数信号。首先回忆一下周期信号

1、周期信号

1.1 连续时间周期信号

首先，我们先来定义什么是周期信号和非周期信号。类似于以前学过的周期函数和非周期函数知识，一个周期连续时间信号 $x(t)$ 具有这样的性质：存在一个正值 $T$ ，对全部 $t$ 来说，有

$x(t)=x(t+T)$ (1)

换句话说，当一个周期信号时移 $T$ 后，其值不变，这时就说 $x(t)$ 是一周期信号，周期为 $T$ 。如下图1所示为一周期连续时间信号

从上图1可以看出：如果x(t)是周期为T的周期信号，那么对全部t和任意整数m来说，就有 $x(t)=x(t+mT)$ ，由此可知，x(t)对于2T，3T，4T，.....都是周期的，对于使式（1）成立的最小周期T称为x(t)的基波周期 $T_{0}$ 。除了x(t)为一常数外，基本周期的定义都成立；在x(t)为一常数的情况下，基波周期无意义，因为这时对任意T来说，x(t)都是周期的（所以不存在最小的正值T）。一个信号不是周期信号就是非周期信号。

1.2 离散时间周期信号

类比连续时间周期信号，在离散时间下定义周期信号，这就是：如果一个离散时间信号x[n]时移一个N值后其值不变，即对全部n值有

$x[n]=x[n+N]$ (2)

则x[n]是周期的，周期为N，N为某一个正整数。若式（2）成立，那么x[n]对于周期2N，3N，4N，......也都是周期的，其中使式（2）成立的最小正值N就是它的基波周期 $N_{0}$ 。下图为一基波周期 $N_{0}$ =3的离散时间周期信号。

说明：连续时间信号自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而离散时间信号仅仅定义在离散时刻点上。有时候有人会误解图1是离散信号，因为有段时刻没有值，其实这是错误的，中间间隔的时间段并不是没有值，而是这些连续时刻的值为0而已。

此处思考这样一个问题：（1） $x_{1}(t)=cos(2t)$ 是周期信号吗？（2） $x_{2}(t)=cos(\pi t/6)$ 是周期信号吗？显然均是周期信号

2.周期复指数信号

首先，对复指数信号进行简单的回忆：

复数z的的表示方法有以下几种，z的直角坐标形式为

$z = x + jy$

式中， $j=\sqrt{-1}$ ，x和y都是实数，且分别称为z的实部和虚部，表示为

$x=Re\left \{ z \right \}, y=lm\left \{ z \right \}$

复数z的极坐标形式为

$z = re^{j\theta }$

式中， $r>0$ 是z的模， $\theta$ 是z的相角或相位，表示为

$r=|z|, \theta =\nless z$

这两种复数表示法的关系可以用欧拉公式来确定

$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$

这种关系也可以在复平面上表示，复平面是指x轴是实轴，y轴是虚轴表示的平面，对于这种图形来说，x和y就是z的直角坐标，而r和 $\theta$ 就是它的极坐标。如下图所示

2.1 连续时间周期复指数信号

连续时间复指数信号具有如下形式：

$x(t)=Ce^{at}$ (3)

式中C和a一般为复数，若将a限制为纯虚数，则该信号就为周期信号（why？），特别考虑如下信号

$x(t)=e^{jw_{0}t}$ (4)

根据式（1），如果存在一个T使下式成立

$e^{jw_{0}t}=e^{jw_{0}(t+T)}$ (5)

则x(t)就是周期的，为此 $e^{jw_{0}(t+T)} = e^{jw_{0}t}e^{jw_{0}T}$ ，则必须有

$e^{jw_{0}T} = 1$ (6)

若 $w_{0}=0,x(t)=1$ ，这时对任何T值都是周期的；若 $w_{0}\neq 0$ ，那么使式（6）成立的最小正值T，即基波周期 $T_{0}$ 应为

$T_{0}=\frac{2\pi }{|w_{0}|}$ (7)

和周期复指数信号密切相关的一种信号是正弦信号

$x(t)=Acos(w_{0}t+\varphi )$ (8)

利用欧拉关系，复指数信号可以用相同基波周期的正弦信号表示

$e^{jw_{0}t}=cos({jw_{0}t})+jsin({jw_{0}t})$ (9)

同样的式（8）中的正弦信号也可以用相同基波周期的复指数信号来表示，即

$Acos(w_{0}t+\varphi )=\frac{A}{2}e^{j\phi }e^{^{jw^{_{0}t}}}+\frac{A}{2}e^{-j\phi }e^{^{-jw^{_{0}t}}}$ (10)

说明：连续时间周期复指数信号与正弦信号的关系可以用坐标轴中的向量简单的说明，由上面对复数表达形式的介绍， $e^{jw_{0}t}$ 在坐标系中可以表示为

即 $e^{jw_{0}t}$ 可以看为是模为1，角频率为 $w$ ，随时间t逆时针旋转的矢量， $e^{-jw_{0}t}$ 可以看作模为1，角频率为 $w$ ，随时间t顺时针旋转的矢量，其在实轴上的坐标为coswt，在虚轴上的坐标为sinwt

由上图可知

$e^{^{jwt}}+e^{^{-jwt}}=2coswt$ (11)

$e^{^{jwt}}-e^{^{-jwt}}=2jsinwt$ (12)

公式（11）和（12）相加可得欧拉关系式。同时可得

$coswt={\frac{e^{^{jwt}}+e^{^{-jwt}}}{2}}$ (13)

$sinwt={\frac{e^{^{jwt}}-e^{^{-jwt}}}{2j}}$ (14)

同样类比连续时间周期复指数信号，我们来分析离散时间周期复指数信号

2.2 离散时间周期复指数信号

离散时间复指数信号具有如下形式：

$x[n]=C\alpha ^{n}$ (15)

式中C和a一般为复数，若令 $\alpha =e^{^{\beta }}$ ，则有另一种表示形式

$x[n]=Ce ^{\beta n}$ (16)

若将 $\beta$ 限制为纯虚数，就可以得到另一个重要的复指数序列

$x[n]=e ^{jw_{0}n}$ (17)

与连续时间情况一样，这个信号与正弦信号密切相关，即

$x[n]=Acos(w_{0}n+\phi )$ (18)

考虑下面为三个正弦序列（1） $x[n]=cos(2\pi n/12)$ （2） $x[n]=cos(8\pi n/31)$ （3） $x[n]=cos(n/6)$ ，如下图所示，它们是周期的吗？

离散时间信号与连续时间序号之间有很多相似，但也有一些重要的差别，连续时间信号 $e^{jw_{0}t}$ 具有如下两个重要性质：

（1） $w_{0}$ 越大，振荡速率越高；

（2）对任何 $w_{0}$ 的值都是周期的。

先对这两个性质考察 $e^{jw_{0}n}$ ，首先研究一下频率为 $w_{_{0}}+2\pi$ 离散复指数信号：

$e^{j(w_{0}+2\pi )n}=e^{jw_{0}n}e^{j2\pi n}=e^{jw_{0}n}$ (19)

从式（19）表明，离散时间复指数信号在频率 $w_{_{0}}+2\pi$ 与频率 $w_{_{0}}$ 时是完全一样的，这一点和连续时间复指数信号 $e^{jw_{0}t}$ 完全不同，在那里不同的 $w_{_{0}}$ 对应着完全不同的信号，因此考虑这种离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个 $2\pi$ 间隔内选择 $w_{_{0}}$ 就可以了。

由式（19）指出周期性质， $e^{jw_{0}n}$ 就不具有随 $w_{_{0}}$ 的数值增加其振荡速率增加的特性。

事实上，如下图所示，随着 $w_{_{0}}$ 从0开始增加，其振荡速率越来越快，直到 $w_{_{0}}=\pi$ 为止，然后若继续增加 $w_{_{0}}$ 的话，其振荡速率就下降，直到 $w_{_{0}}=2\pi$ 为止，又得到与 $w_{_{0}}=0$ 同样的结果。因此离散时间复指数信号的低频部分在 $\pi$ 的偶数倍值附近，高频部分在奇数倍附近。

第二个性质是关于离散时间复指数信号的周期性问题，为了是 $e^{jw_{0}n}$ 为周期的，周期为 $N>0$ ，必须满足

$e^{jw_{0}(n+N)}=e^{jw_{0}n}$ (20)

等效于

$e^{jw_{0}N}=1$ (21)

为了使式（21）成立

$w_{0}N=2\pi m$ (22)

或者

${\frac{w_{0}}{2\pi}}=\frac{m}{N}$ (23)

由上式（23）若 ${\frac{w_{0}}{2\pi}}$ 为一有理数， $e^{jw_{0}n}$ 为周期的，否则就不是，这一结论对离散时间正弦信号也成立。

所以上述（1）（2）为周期信号，而（3） $x[n]=cos(n/6)$ 为非周期信号，因为序列时刻必须为整数，周期为无理数时永远无法取到整数值。

周期为N的信号 $e^{jw_{0}n}$ 的基波频率为

$\frac{2\pi }{N}=\frac{w_{0}}{m}$ (24)

基波周期也可以写为

$N=m(\frac{2\pi }{w_{0}})$ (25)

式（24）和（25）与连续时间对应的基波频率和基波周期是不同的