线性映射

V1,V2V_1,V_2V1,V2是数域FFF上的两个线性空间，A:V1→V2\mathcal{A}:V_1 \to V_2A:V1→V2是线性映射，如果：∀α1,α2∈V1\forall \alpha_1,\alpha_2 \in V_1∀α1,α2∈V1，λ∈F\lambda \in Fλ∈F，

A(α1+α2)=Aα1+Aα2\mathcal{A}(\alpha_1+\alpha_2) = \mathcal{A}{\alpha_1} + \mathcal{A}{\alpha_2}A(α1+α2)=Aα1+Aα2
A(λα1)=λAα1\mathcal{A}(\lambda\alpha_1) =\lambda \mathcal{A}{\alpha_1}A(λα1)=λAα1

假设α1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_nα1,⋯,αn是V1V_1V1的一组基，β1,⋯,βm\beta_1,\cdots,\beta_mβ1,⋯,βm是V2V_2V2的一组基，称A∈Fm×nA \in F^{m \times n}A∈Fm×n是线性映射A\mathcal{A}A在基α1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_nα1,⋯,αn与β1,⋯,βm\beta_1,\cdots,\beta_mβ1,⋯,βm下的表示，如果
A(α1,⋯,αn)=(β1,⋯,βm)A\mathcal{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) = (\beta_1,\cdots,\beta_m)AA(α1,⋯,αn)=(β1,⋯,βm)A
在给定两组基时，线性映射和它的矩阵表示是一一对应的（证明可以参考史荣昌的矩阵分析第三版定理1.4.1）。

矩阵的等价

假设α1′,⋯,αn′\alpha_1',\cdots,\alpha_n'α1′,⋯,αn′是V1V_1V1的另一组基，从α1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_nα1,⋯,αn到这组基的过渡矩阵是PPP；β1′,⋯,βm′\beta_1',\cdots,\beta_m'β1′,⋯,βm′是V2V_2V2的另一组基，从β1,⋯,βm\beta_1,\cdots,\beta_mβ1,⋯,βm到这组基的过渡矩阵是QQQ，如果A\mathcal{A}A在α1′,⋯,αn′\alpha_1',\cdots,\alpha_n'α1′,⋯,αn′和β1′,⋯,βm′\beta_1',\cdots,\beta_m'β1′,⋯,βm′下的矩阵表示为BBB，则
B=Q−1APB = Q^{-1}APB=Q−1AP
这个等式的证明就是把过渡矩阵和矩阵表示的定义叙述一遍即可，等式两边表达的是同一个向量的等价表示方法而已，此时称矩阵AAA和矩阵BBB等价。

线性映射的像空间与核空间

定义A(V1)={β=A(α)∈V2:∀α∈V1}\mathcal{A}(V_1) = \{\beta = \mathcal{A}(\alpha)\in V_2:\forall \alpha \in V_1\}A(V1)={β=A(α)∈V2:∀α∈V1}为线性映射的像空间，记为R(A)R(\mathcal{A})R(A)，定义线性映射的秩为
rank(A)=dim⁡R(A)rank(\mathcal{A}) = \dim R(\mathcal{A})rank(A)=dimR(A)
定义线性映射的核空间为
N(A)={α∈V1:A(α)=0∈V2}N(\mathcal{A}) = \{\alpha \in V_1: \mathcal{A}(\alpha)=0 \in V_2\}N(A)={α∈V1:A(α)=0∈V2}
称dim⁡N(A)\dim N(\mathcal{A})dimN(A)为线性映射的零度。像空间是V2V_2V2的线性子空间，核空间是V1V_1V1的线性子空间。

例1.2.1 证明rank(A)=rank(A)rank(\mathcal{A}) = rank(A)rank(A)=rank(A)，AAA是任意矩阵表示

关于核空间与像空间有一个很重要的关系：
dim⁡R(A)+dim⁡N(A)=dim⁡V1\dim R(\mathcal{A}) + \dim N(\mathcal{A}) = \dim V_1dimR(A)+dimN(A)=dimV1
下面给出一个简单证明：

先证明一个用得上的引理：R(A)=span(A(α1),⋯,A(αn))R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\alpha_1),\cdots,\mathcal{A}(\alpha_n))R(A)=span(A(α1),⋯,A(αn))
∀α∈V1\forall \alpha \in V_1∀α∈V1,∃α=x1α1+⋯+xnαn\exists \alpha = x_1\alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n∃α=x1α1+⋯+xnαn，
β=A(α)=A(x1α1+⋯+xnαn)=x1A(α1)+⋯+xnA(xn)∈V2\beta = \mathcal{A}(\alpha) = \mathcal{A}( x_1\alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n) \\ = x_1\mathcal{A}(\alpha_1) + \cdots + x_n \mathcal{A}(x_n) \in V_2β=A(α)=A(x1α1+⋯+xnαn)=x1A(α1)+⋯+xnA(xn)∈V2
因此
R(A)=span(A(α1),⋯,A(αn))R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\alpha_1),\cdots,\mathcal{A}(\alpha_n))R(A)=span(A(α1),⋯,A(αn))
假设γ1,⋯,γr\gamma_1,\cdots,\gamma_rγ1,⋯,γr是N(A)N(\mathcal{A})N(A)的一组基，其中rrr是A\mathcal{A}A的零度，将这组基扩展到V1V_1V1，记为γ1,⋯,γr,γr+1′,⋯,γn′\gamma_1,\cdots,\gamma_r,\gamma_{r+1}',\cdots,\gamma_n'γ1,⋯,γr,γr+1′,⋯,γn′，则
R(A)=span(A(γ1),⋯,A(γr),A(γr+1′),⋯,A(γn′))=span(0,⋯,0,A(γr+1′),⋯,A(γn′))R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\gamma_1),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_r),\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n')) \\ = span(0,\cdots,0,\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n'))R(A)=span(A(γ1),⋯,A(γr),A(γr+1′),⋯,A(γn′))=span(0,⋯,0,A(γr+1′),⋯,A(γn′))
因此
dim⁡R(A)=dim⁡span(A(γr+1′),⋯,A(γn′))\dim R(\mathcal{A}) = \dim span(\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n'))dimR(A)=dimspan(A(γr+1′),⋯,A(γn′))
要证明dim⁡R(A)+dim⁡N(A)=dim⁡V1\dim R(\mathcal{A}) + \dim N(\mathcal{A}) = \dim V_1dimR(A)+dimN(A)=dimV1，只需要A(γr+1′),⋯,A(γn′)\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n')A(γr+1′),⋯,A(γn′)线性无关：
考虑
∑j=r+1nkjA(γj′)=0⇔A(∑j=r+1nkjγj′)=0⇔∑j=r+1nkjγj′∈N(A)\sum_{j=r+1}^n k_j \mathcal{A}(\gamma_j') = 0 \Leftrightarrow \mathcal{A}(\sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j') = 0 \Leftrightarrow \sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j' \in N(\mathcal{A})j=r+1∑nkjA(γj′)=0⇔A(j=r+1∑nkjγj′)=0⇔j=r+1∑nkjγj′∈N(A)
因此它可以用N(A)N(\mathcal{A})N(A)的基表示
∃∑j=r+1nkjγj′=∑i=1rliγi\exists \sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j' = \sum_{i=1}^r l_i \gamma_i∃j=r+1∑nkjγj′=i=1∑rliγi
因为γ1,⋯,γr,γr+1′,⋯,γn′\gamma_1,\cdots,\gamma_r,\gamma_{r+1}',\cdots,\gamma_n'γ1,⋯,γr,γr+1′,⋯,γn′线性无关，因此∀kj=li=0\forall k_j=l_i=0∀kj=li=0

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