定义

假设AAA是一个m×npm \times npm×np的矩阵，aja_jaj是它的第jjj列，定义广义vec算子
vecn(A)=[a1⋯anan+1⋯a2n⋯⋯⋯anp−n+1⋯anp]∈Rmp×nvec_n(A) = \left[ \begin{matrix} a_1 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{np-n+1} & \cdots & a_{np} \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^{mp \times n}vecn(A)=⎣⎢⎢⎡a1an+1⋯anp−n+1⋯⋯⋯⋯ana2n⋯anp⎦⎥⎥⎤∈Rmp×n

假设BBB是一个np×mnp \times mnp×m的矩阵，bjb^jbj是它的第jjj行，定义广义devec算子
devecn(A)=[b1⋯bnp−n+1b2⋯bnp−n+2⋯⋯⋯bn⋯bnp]∈Rn×mpdevec_n(A) = \left[ \begin{matrix} b^1 & \cdots & b^{np-n+1} \\ b^2 & \cdots & b^{np-n+2} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b^n & \cdots & b^{np} \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^{n \times mp}devecn(A)=⎣⎢⎢⎡b1b2⋯bn⋯⋯⋯⋯bnp−n+1bnp−n+2⋯bnp⎦⎥⎥⎤∈Rn×mp

简单性质

简单关系，(vecnA)′=devecnA′(vec_nA)'=devec_nA'(vecnA)′=devecnA′
广义vec算子与广义devec算子与Kronecker乘积：
vecn(A⊗B)=vec(A)⊗Bdevecn(A⊗B′)=devec(A)⊗B′vec_n(A \otimes B) = vec(A) \otimes B \\ devec_n(A \otimes B') = devec(A) \otimes B'vecn(A⊗B)=vec(A)⊗Bdevecn(A⊗B′)=devec(A)⊗B′
广义vec算子与广义devec算子与矩阵乘法：AAA是m×npm \times npm×np的矩阵、CCC是r×mr \times mr×m的阵vecn(CA)=(Ip⊗C)vecn(A)devecn(A′C′)=devecn(A′)(Ip⊗C′)vec_n(CA) = (I_p \otimes C)vec_n(A) \\ devec_n(A'C') = devec_n(A')(I_p \otimes C')vecn(CA)=(Ip⊗C)vecn(A)devecn(A′C′)=devecn(A′)(Ip⊗C′)

τ\tauτ符号

记Aτ=vecn(A)A^{\tau}=vec_n(A)Aτ=vecn(A)，AAA是一个m×npm \times npm×np的矩阵，这个记号叫τ\tauτ记号。另外记Aτˉ=devecn(A)A^{\bar{\tau}} = devec_n(A)Aτˉ=devecn(A)。这个符号有以下性质：

(A⊗B)τ=vec(A)⊗B(A \otimes B)^{\tau} = vec(A) \otimes B(A⊗B)τ=vec(A)⊗B
(Aτ)′=(A′)τˉ(A^{\tau})' = (A')^{\bar{\tau}}(Aτ)′=(A′)τˉ
(CA)τ=(Ip⊗C)Aτ(CA)^{\tau} = (I_p \otimes C)A^{\tau}(CA)τ=(Ip⊗C)Aτ
vec(A)(Ip⊗x)=Aτxvec(A)(I_p \otimes x) = A^{\tau} xvec(A)(Ip⊗x)=Aτx

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