UA OPTI512R 傅立叶光学导论25 透镜成像中光源与像的光强关系

光强关系
光学传递函数

前两讲介绍了用物理光学的思路分析了透镜系统中输入波形与输出波形之间的关系，这一讲讨论输入波形的光强与输出波形的光强之间的关系。用u(x,y)u(x,y)u(x,y)表示一个波形，则光强与∣u∣|u|∣u∣成正比，相位为arctan⁡Im[u(x,y)]Re[u(x,y)]\arctan \frac{Im[u(x,y)]}{Re[u(x,y)]}arctanRe[u(x,y)]Im[u(x,y)]，比如u(x,y)=Aej(kxx+kyy)u(x,y)=Ae^{j (k_xx+k_yy)}u(x,y)=Aej(kxx+kyy)，则光强与AAA成正比，相位是kxx+kyyk_xx+k_yykxx+kyy。先严格定义一下光强(intensity)：
I(x,y)=u(x,y)u∗(x,y)=∣u(x,y)∣2I(x,y)=u(x,y)u^*(x,y)=|u(x,y)|^2I(x,y)=u(x,y)u∗(x,y)=∣u(x,y)∣2

比如u(x,y)=Aej(kxx+kyy)u(x,y)=Ae^{j (k_xx+k_yy)}u(x,y)=Aej(kxx+kyy)的光强为I(x,y)=A2I(x,y)=A^2I(x,y)=A2。下文的分析将使用这个定义。

同时，这一讲不假设光源发出的光都是相干光，所以光源处的场被称为spatially incoherent field，含义是它发出的光相位都是完全随机的。

光强关系

上上讲我们介绍了object field与image field中波形的关系（Field Relation）
ui(xi,yi)=h~(xi,yi)∗ug(xi,yi)u_i(x_i,y_i)=\tilde h(x_i,y_i) * u_g(x_i,y_i)ui(xi,yi)=h~(xi,yi)∗ug(xi,yi)

即image的波形等于PSF与ideal geometric image的卷积。根据这个关系，我们可以推导object field与image field中光强的关系（Intensity Relation）
Ii=∣ui(xi,yi)∣2=ui(xi,yi)ui∗(xi,yi)\begin{aligned} I_i & = |u_i(x_i,y_i)|^2 = u_i(x_i,y_i)u_i^*(x_i,y_i) \end{aligned}Ii=∣ui(xi,yi)∣2=ui(xi,yi)ui∗(xi,yi)

其中∣h~(xi,yi)∣2|\tilde h(x_i,y_i)|^2∣h~(xi,yi)∣2被称为Incoherent PSF。

光学传递函数

下表总结了coherent与incoherent的PSF与传递函数（⊗\otimes⊗表示卷积），唯一还未回答的问题是：incoherent transfer function的表达式是什么？

Incoherent PSF的Fourier变换被称为incoherent transfer function或者optical transfer function。用卷积定理，
H(ξ,η)=F[h~(xi,yi)h~∗(xi,yi)]=F[h~(xi,yi)]⊗F[h~∗(xi,yi)]=H(ξ,η)⊗H∗(−ξ,−η)=rHH(ξ,η)\begin{aligned}\mathcal H(\xi,\eta) & =\mathcal{F}[\tilde h(x_i,y_i)\tilde h^*(x_i,y_i)] \\ & =\mathcal{F}[\tilde h(x_i,y_i)] \otimes \mathcal{F}[\tilde h^*(x_i,y_i)] \\ & = H(\xi,\eta) \otimes H^*(-\xi,-\eta)=r_{HH}(\xi,\eta) \end{aligned}H(ξ,η)=F[h~(xi,yi)h~∗(xi,yi)]=F[h~(xi,yi)]⊗F[h~∗(xi,yi)]=H(ξ,η)⊗H∗(−ξ,−η)=rHH(ξ,η)

也就是说incoherent transfer function是CTF的自相关函数，更准确一点

如果代入CTF的表达式

OTF的性质：

H(0,0)=1\mathcal{H}(0,0)=1H(0,0)=1
H(ξ,η)=H∗(−ξ,−η)\mathcal{H}(\xi,\eta)=\mathcal{H}^*(-\xi,-\eta)H(ξ,η)=H∗(−ξ,−η)
∀ξ,η,H(ξ,η)≤H(0,0)=1\forall \xi,\eta,\mathcal{H}(\xi,\eta) \le \mathcal{H}(0,0)=1∀ξ,η,H(ξ,η)≤H(0,0)=1

例：矩形pupil

P(x,y)=rect(x/Lx,y/Ly)H(ξ,η)=rect(λdiξ/Lx,λdiη/Ly)P(x,y)=rect(x/L_x,y/L_y) \\ H(\xi,\eta)=rect(\lambda d_i \xi/L_x,\lambda d_i \eta/L_y)P(x,y)=rect(x/Lx,y/Ly)H(ξ,η)=rect(λdiξ/Lx,λdiη/Ly)

所以horizontal low-pass cut-off frequency为
ξc=Lx2λdi\xi_c=\frac{L_x}{2\lambda d_i}ξc=2λdiLx

verticle low-pass cut-off frequency为
ηc=Ly2λdi\eta_c=\frac{L_y}{2\lambda d_i}ηc=2λdiLy

PSF为
h~(xi,yi)=LxLyλ2di2sinc(Lxxiλdi,Lyyiλdi)\tilde h(x_i,y_i)=\frac{L_xL_y}{\lambda^2d_i^2}sinc(\frac{L_xx_i}{\lambda d_i},\frac{L_yy_i}{\lambda d_i})h~(xi,yi)=λ2di2LxLysinc(λdiLxxi,λdiLyyi)

OTF满足

结果为

例：圆形pupil
P(x,y)=circ(r/W)={1,r=x2+y2≤W/20,r=x2+y2>W/2H(ξ,η)=circ(λdiρW),ρ=ξ2+η2P(x,y)=circ(r/W)=\begin{cases} 1 ,r=\sqrt{x^2+y^2} \le W/2 \\ 0,r=\sqrt{x^2+y^2} > W/2 \end{cases} \\ H(\xi,\eta)=circ(\frac{\lambda d_i \rho}{W}),\rho = \sqrt{\xi^2+\eta^2}P(x,y)=circ(r/W)={1,r=x2+y2≤W/20,r=x2+y2>W/2H(ξ,η)=circ(Wλdiρ),ρ=ξ2+η2

所以radial low-pass cut-off frequency为
ρc=W2λdi\rho_c=\frac{W}{2\lambda d_i}ρc=2λdiW

PSF为
h~(xi,yi)=W2λ2di2somb(Wriλdi)\tilde h(x_i,y_i)=\frac{W^2}{\lambda^2d_i^2}somb(\frac{Wr_i}{\lambda d_i})h~(xi,yi)=λ2di2W2somb(λdiWri)

其中somb表示Sombrero函数，
somb(r)=2J1(πr)πr,r=x2+y2somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r},r=\sqrt{x^2+y^2}somb(r)=πr2J1(πr),r=x2+y2

J1J_1J1是1阶第一类Bessel函数。OTF为

总结：CTF与OTF的关系图