UA OPTI512R 傅立叶光学导论14 Wiener-Khinchine定理，Rayleigh定理与矩定理

Wiener-Khinchine定理
Rayleigh定理
矩定理

Wiener-Khinchine定理

定义考虑f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)两个波形，用下面的相关性函数衡量它们之间的相似性，
rfg=∫−∞+∞f(α)g∗(α−x)dαr_{fg}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g^*(\alpha-x)d\alpharfg=∫−∞+∞f(α)g∗(α−x)dα

如果f=gf=gf=g，称rffr_{ff}rff为自相关函数。

评注需要注意的是这个定义与卷积是有区别的，卷积的定义是
f∗g=∫−∞+∞f(α)g∗(x−α)dα=∫−∞+∞f(x−α)g∗(α)dαf*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g^*(x-\alpha)d\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\alpha)g^*(\alpha)d\alphaf∗g=∫−∞+∞f(α)g∗(x−α)dα=∫−∞+∞f(x−α)g∗(α)dα

做简单的变量代换（比如β=α−x\beta=\alpha-xβ=α−x）就可以验证第二个等号成立。根据二者不同的定义，卷积满足对称性f∗g=g∗ff*g=g*ff∗g=g∗f，而相关性函数rfgr_{fg}rfg满足共轭对称性，
rfg(x)=rgf∗(−x)r_{fg}(x)=r_{gf}^*(-x)rfg(x)=rgf∗(−x)

代入定义即可验证：
rgf∗(−x)=∫−∞+∞f∗(α)g(α+x)dα=∫−∞+∞f∗(β−x)g(β)dβ=rfg(x)r_{gf}^*(-x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(\alpha)g(\alpha+x)d\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(\beta-x)g(\beta)d\beta=r_{fg}(x)rgf∗(−x)=∫−∞+∞f∗(α)g(α+x)dα=∫−∞+∞f∗(β−x)g(β)dβ=rfg(x)

由此也可以发现相关性函数可以用卷积表示，
rfg=f∗(−x)∗g(x)r_{fg}=f^*(-x)*g(x)rfg=f∗(−x)∗g(x)

对于自相关函数，∣rff(x)∣≤∣rff(0)∣|r_{ff}(x)| \leq |r_{ff}(0)|∣rff(x)∣≤∣rff(0)∣，从直观上解释，xxx的作用是让我们要比较的两列f(x)f(x)f(x)波形中的其中一列做平移后再和另一列比较相似性，这样得出的相似性肯定是比完全一样的两列f(x)f(x)f(x)波形更弱的。

Wiener-Khinchine定理 波形f(x)f(x)f(x)的自相关函数rff(x)r_{ff}(x)rff(x)的Fourier变换等于波形f(x)f(x)f(x)的功率谱密度(power spectrum density, PSD)。用公式表达就是：记$F(\xi)=\mathcal{F}[f(x) ] $，则
F[rff(x)]=∣F(ξ)∣2\mathcal{F}[r_{ff}(x)]=|F(\xi) |^2F[rff(x)]=∣F(ξ)∣2

证明
方法一：卷积定理，
F[rff(x)]=F[f∗(−x)∗f(x)]=F∗(−(−ξ))F(ξ)=∣F(ξ)∣2\mathcal{F}[ r_{ff} (x ) ] = \mathcal{F}[ f^*(-x)*f(x) ] =F^*( -( -\xi) ) F( \xi )=|F(\xi) |^2F[rff(x)]=F[f∗(−x)∗f(x)]=F∗(−(−ξ))F(ξ)=∣F(ξ)∣2

方法二：直接计算，
F[rff(x)]=∫−∞+∞(∫−∞+∞f(α)f∗(α−x)dα)e−j2πξxdx=∫−∞+∞f(α)(∫−∞+∞f∗(α−x)e−j2πξxdx)dα=∫−∞+∞f(α)e−j2πξαF∗(ξ)dα=F(ξ)F∗(ξ)=∣F(ξ)∣2\begin{aligned} \mathcal{F}[ r_{ff} ( x ) ] & =\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) f^* ( \alpha - x ) d \alpha \right) e^{-j2 \pi \xi x} dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f^* ( \alpha - x ) e^{-j2 \pi \xi x} dx \right) d \alpha \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) e^{-j 2 \pi \xi \alpha} F^*(\xi) d \alpha = F( \xi ) F^*(\xi) = |F(\xi)|^2 \end{aligned}F[rff(x)]=∫−∞+∞(∫−∞+∞f(α)f∗(α−x)dα)e−j2πξxdx=∫−∞+∞f(α)(∫−∞+∞f∗(α−x)e−j2πξxdx)dα=∫−∞+∞f(α)e−j2πξαF∗(ξ)dα=F(ξ)F∗(ξ)=∣F(ξ)∣2

应用 FTIR spectroscopy

Wiener-Khinchine定理的一个重要应用是FTIR spectroscopy（Fourier transform infrared spectroscopy），它可以用来得到物质的吸收光谱，简易示意图如上，它由五部分组成，正下方是一个红外发射器，正上方是一个固定的反射镜，正右方是一个可以平移的反射镜，正左方放置待分析的样本以及红外传感器，正中是一个分光镜。假设发射器产生的电场为E(x0,t)E(x_0,t)E(x0,t)，在Δ\DeltaΔ后一部分光经过分光镜反射穿过样本到达传感器，再过τ\tauτ后，透过分光镜的光被反射镜反射后再次通过分光镜，部分被反射最终到达传感器，于是两次到达传感器的光自相关函数为
rEE(τ)=∫−∞+∞E(x0,t+Δ)E∗(x0,t+Δ+τ)dtr_{EE}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} E(x_0,t+\Delta)E^*(x_0,t+\Delta+\tau)dtrEE(τ)=∫−∞+∞E(x0,t+Δ)E∗(x0,t+Δ+τ)dt

在τ\tauτ时间内，传感器接收到的光强为
I(τ)=∣E(x0,t+Δ)+E∗(x0,t+Δ+τ)∣2=∣E(x0,t+Δ)∣2+∣E∗(x0,t+Δ+τ)∣2+2Re[E(x0,t+Δ)E∗(x0,t+Δ+τ)]\begin{aligned}I(\tau)& =|E(x_0,t+\Delta)+E^*(x_0,t+\Delta+\tau)|^2 \\ & = |E(x_0,t+\Delta)|^2 + |E^*(x_0,t+\Delta+\tau)|^2 \\ & +2Re[E(x_0,t+\Delta)E^*(x_0,t+\Delta+\tau)]\end{aligned}I(τ)=∣E(x0,t+Δ)+E∗(x0,t+Δ+τ)∣2=∣E(x0,t+Δ)∣2+∣E∗(x0,t+Δ+τ)∣2+2Re[E(x0,t+Δ)E∗(x0,t+Δ+τ)]

τ\tauτ足够小时，前两项为常数，第三项与rEE(τ)r_{EE}(\tau)rEE(τ)成正比，于是基于光强信息，将其与发射器的频谱对比我们就可以得到样本的吸收谱。

Rayleigh定理

Rayleigh定理 在时域与频域中计算某列波的能量，得到的结果相同。用数学公式表示，假设f(x)f(x)f(x)表示一个波形，它的Fourier变换是F(ξ)F(\xi)F(ξ)，则
E=∫−∞+∞∣f(x)∣2dx=∫−∞+∞∣F(ξ)∣2dξE=\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\xi)|^2d \xiE=∫−∞+∞∣f(x)∣2dx=∫−∞+∞∣F(ξ)∣2dξ

证明
∫−∞+∞∣f(x)∣2dx=∫−∞+∞f(x)f∗(x)dx=∫−∞+∞[∫−∞+∞F(ξ1)ej2πξ1xdξ1][∫−∞+∞F(ξ2)ej2πξ2xdξ2]∗dx=∬−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ2)[∫−∞+∞ej2π(ξ1−ξ2)xdx]dξ1dξ2=∬−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ2)δ(ξ1−ξ2)dξ1dξ2=∫−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ1)dξ1=∫−∞+∞∣F(ξ)∣2dξ\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx & = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f^*(x)dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1) e^{j 2 \pi \xi_1 x}d \xi_1\right] \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_2) e^{j 2 \pi \xi_2 x}d \xi_2\right]^*dx \\ & = \iint_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_2) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j 2 \pi (\xi_1-\xi_2)x}dx\right]d \xi_1 d \xi_2 \\ & = \iint_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_2)\delta(\xi_1-\xi_2)d \xi_1 d \xi_2 \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_1)d \xi_1= \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\xi)|^2d \xi\end{aligned}∫−∞+∞∣f(x)∣2dx=∫−∞+∞f(x)f∗(x)dx=∫−∞+∞[∫−∞+∞F(ξ1)ej2πξ1xdξ1][∫−∞+∞F(ξ2)ej2πξ2xdξ2]∗dx=∬−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ2)[∫−∞+∞ej2π(ξ1−ξ2)xdx]dξ1dξ2=∬−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ2)δ(ξ1−ξ2)dξ1dξ2=∫−∞+∞F(ξ1)F∗(ξ1)dξ1=∫−∞+∞∣F(ξ)∣2dξ

解释第二个等号用Fourier逆变换，第三个等号用Fubini定理，第四个等号用Dirac函数的Fourier变换，第五个等号用Dirac函数的sifting property。这里称∫−∞+∞∣f(x)∣2dx\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx∫−∞+∞∣f(x)∣2dx为能量，可以用电场类比，假设f=Ef=\textbf Ef=E，x=(r,t)x=(\textbf r,t)x=(r,t)，则∣f(x)∣2|f(x)|^2∣f(x)∣2就是电场的能量密度，在四维时空中对位移与时间求积分之后就是能量了。另外，这个定理与Parseval定理一样，都表示在对波形做时域和频域之间的转换时，波所携带的能量是守恒的。Parseval定理讨论的是周期性的波，假设f(x)f(x)f(x)的Fourier级数展开系数为{cn}\{c_n\}{cn}，周期为TTT，则Parseval定理为
1T∫−T/2T/2∣f(x)∣2dx=∑n=−∞+∞∣cn∣2\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|^2dx=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2T1∫−T/2T/2∣f(x)∣2dx=n=−∞∑+∞∣cn∣2

矩定理

矩的定义
对于波形f(x)f(x)f(x)，称mnm_nmn是它的nnn阶矩，其中nnn是非负整数，
mn=∫−∞+∞xnf(x)dxm_n = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n f(x)dxmn=∫−∞+∞xnf(x)dx

比如0阶矩：
m0=∫−∞+∞f(x)dxm_0=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dxm0=∫−∞+∞f(x)dx

1阶矩：
m1=∫−∞+∞xf(x)dxm_1=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dxm1=∫−∞+∞xf(x)dx

2阶矩：
m2=∫−∞+∞x2f(x)dxm_2=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)dxm2=∫−∞+∞x2f(x)dx

矩与Fourier变换的联系 假设f(x)f(x)f(x)的Fourier变换为F(ξ)F(\xi)F(ξ)，即
F(ξ)=∫−∞+∞f(x)e−j2πξxdxF(n)(ξ)=∫−∞+∞(−j2πx)nf(x)e−j2πξxdxF(n)(0)=(−j2π)n∫−∞+∞xnf(x)dx=(−j2π)nmn\begin{aligned}F(\xi)&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \\ F^{(n)}(\xi) & =\int_{-\infty}^{+\infty} (-j 2 \pi x)^nf(x)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \\ F^{(n)}(0) & =(-j2 \pi)^n \int_{-\infty}^{+\infty} x^nf(x)dx = (-j2 \pi)^n m_n\end{aligned}F(ξ)F(n)(ξ)F(n)(0)=∫−∞+∞f(x)e−j2πξxdx=∫−∞+∞(−j2πx)nf(x)e−j2πξxdx=(−j2π)n∫−∞+∞xnf(x)dx=(−j2π)nmn

所以
mn=F(n)(0)(−j2π)nm_n = \frac{F^{(n)}(0)}{(-j2 \pi)^n}mn=(−j2π)nF(n)(0)

例：f(x)=sinc(x)f(x)=sinc(x)f(x)=sinc(x)，则
m0=F(0)(0)(−j2π)0=rect(0)=1m_0=\frac{F^{(0)}(0)}{(-j2 \pi)^0}=rect(0)=1m0=(−j2π)0F(0)(0)=rect(0)=1

矩与Heisenberg不确定性原理的联系
对于波形f(x)f(x)f(x)，m1m_1m1的作用是衡量波的“中心”，m2m_2m2的作用是是衡量波的分散程度，m2−m12m_2-m_1^2m2−m12表示波形相对其中心的分散程度，而它的平方根m2−m12\sqrt{m_2-m_1^2}m2−m12就被称为这个波形的不确定性，记为Δf\Delta fΔf；假设fff与ggg表示两个可以观测的物理量，则
Δf⋅Δg≥∣m1(fg−gf)∣2\Delta f \cdot \Delta g \ge \frac{|m_1(fg-gf)|}{2}Δf⋅Δg≥2∣m1(fg−gf)∣

其中m1(fg−gf)m_1(fg-gf)m1(fg−gf)表示fg−gffg-gffg−gf的1阶矩，这个式子被称为广义不确定性原理，这个式子说明同时观测多个物理量时，它们的不确定性的乘积存在一个下界，于是当其中一个物理量在以xxx为坐标的坐标系下取值比较集中（不确定性非常小）时，其他物理量在以xxx为坐标的坐标系下取值一定会比较分散（不确定性非常大）。