UA OPTI512R 傅立叶光学导论12 傅立叶级数基础

Fourier Series

这一讲的目的是简单介绍一下Fourier分析的基础，后续会介绍Fourier变换的数值计算方法、用Fourier变换计算卷积的方法以及在衍射计算中的应用。

函数分解
回顾一下向量在基下的表示：
v=vxx^+vyy^+vzz^\textbf v = v_x \hat x+v_y \hat y + v_z \hat zv=vxx^+vyy^+vzz^

其中x^,y^,z^\hat x,\hat y ,\hat zx^,y^,z^表示x,y,zx,y,zx,y,z方向的单位向量，
vx=(v,x^),vy=(v,y^),vz=(v,z^)v_x = (\textbf v,\hat x),v_y = (\textbf v,\hat y),v_z = (\textbf v,\hat z)vx=(v,x^),vy=(v,y^),vz=(v,z^)

在物理中我们也把这个操作解释为矢量的分解，把一个复杂的矢量v\textbf vv分解为x^,y^,z^\hat x,\hat y,\hat zx^,y^,z^的和，分量的长度就是这个矢量与对应方向的单位向量的内积。虽然这里是三维的，但这个操作可以很自然地推广到nnn维。

向量其实可以看作指标与分量之间的函数关系，比如nnn维向量v=(v1,⋯,vn)′\textbf v=(v_1,\cdots,v_n)'v=(v1,⋯,vn)′就可以解释为v(n)=vnv(n)=v_nv(n)=vn，因此
v(n)=∑k=1nvkx^kv(n) = \sum_{k=1}^n v_k \hat x_kv(n)=k=1∑nvkx^k

那么在这个意义上，对于更具有一般性的函数，是否可以像向量这样分解呢？回顾一下函数的幂级数展开：
f(x)=∑n=0+∞anxnf(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^nf(x)=n=0∑+∞anxn

如果把这个理解为函数的分解，那么xnx^nxn就相当于向量分解中的基向量，我们称它为基函数（basis function），ana_nan就相当于向量分解中在xnx^nxn方向上的分量，他应该f(x)f(x)f(x)与xnx^nxn的内积：
an=⟨f(x),xn⟩a_n = \langle f(x),x^n \ranglean=⟨f(x),xn⟩

也就是说要让函数的幂级数展开成为它的分解，我们希望f(x),xnf(x),x^nf(x),xn属于同一个Hilbert空间，而Hilbert空间也就可以理解为向量空间推广到无穷维的结果。

Fourier Series

周期函数 Periodic Function：函数fpf_pfp是周期函数，如果存在T>0T>0T>0，使得
fp(x+nT)=fp(x),∀n∈Zf_p(x+nT)=f_p(x),\forall n \in \mathbb{Z}fp(x+nT)=fp(x),∀n∈Z称TTT为基本周期(fundamental period)，称ξ0=1/T\xi_0 = 1/Tξ0=1/T为基本频率(fundamental frequency)。

周期函数的傅立叶级数展开
用{ej2πnξ0α}n∈Z\{e^{j2 \pi n \xi_0 \alpha}\}_{n \in \mathbb{Z}}{ej2πnξ0α}n∈Z作为基函数，fpf_pfp的Fourier级数展开为
fp(x)=∑n=−∞+∞cnej2πnξ0xf_p(x)= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{j2 \pi n \xi_0 x}fp(x)=n=−∞∑+∞cnej2πnξ0x

这个式子被称为synthesis equation，其中{cn}\{c_n\}{cn}被称为Fourier series coefficients，它是fpf_pfp与基函数的内积
cn=⟨fp(x),ej2πnξ0x⟩=1T∫t0t0+Tfp(x)(ej2πnξ0x)∗dx=1T∫t0t0+Tfp(x)e−j2πnξ0xdx\begin{aligned}c_n = \langle f_p(x),e^{j2 \pi n \xi_0 x} \rangle & = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f_p(x)\left( e^{j2 \pi n \xi_0 x} \right)^*dx \\ & = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f_p(x) e^{-j2 \pi n \xi_0 x} dx\end{aligned}cn=⟨fp(x),ej2πnξ0x⟩=T1∫t0t0+Tfp(x)(ej2πnξ0x)∗dx=T1∫t0t0+Tfp(x)e−j2πnξ0xdx

这个式子被称为analysis equation，我们需要验证这个定义是否合理，也就是把fpf_pfp的Fourier展开代入这个式子，看看右边能不能得到cnc_ncn：

例1 假设xxx轴的单位为mmm，考虑下列矩形波

fp(x)={1,2n<x<2n+1,n∈Z−1,2n+1<x<2n+2,n∈Zf_p(x) = \begin{cases} 1, 2n<x<2n+1,n \in \mathbb{Z} \\ -1 ,2n+1<x < 2n+2,n \in \mathbb{Z} \end{cases}fp(x)={1,2n<x<2n+1,n∈Z−1,2n+1<x<2n+2,n∈Z

这个函数的周期为T=2T=2T=2 (m)，频率为ξ0=1/2\xi_0=1/2ξ0=1/2 (1/m)。计算fpf_pfp的Fourier级数展开：
cn=12∫02fp(x)e−j2πnx2dx=12∫01e−jπnxdx−12∫12e−jπnxdx=1−ejπnj2πn−e−jπn−1j2πn=1−e−jπnjπn={0,neven2jπn,nodd\begin{aligned}c_n &= \frac{1}{2} \int_0^2 f_p(x)e^{-j2 \pi n \frac{x}{2}}dx \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-j \pi n x}dx - \frac{1}{2} \int_1^2 e^{-j \pi n x}dx \\ & = \frac{1-e^{j \pi n}}{j2 \pi n}-\frac{e^{-j \pi n }-1}{j2 \pi n } = \frac{1-e^{- j \pi n}}{j \pi n} = \begin{cases} 0, n \ even \\ \frac{2}{j \pi n}, n\ odd \end{cases}\end{aligned}cn=21∫02fp(x)e−j2πn2xdx=21∫01e−jπnxdx−21∫12e−jπnxdx=j2πn1−ejπn−j2πne−jπn−1=jπn1−e−jπn={0,n evenjπn2,n odd

这说明矩形波的Fourier级数中只包含奇数个谐波，并且谐波的强度随nnn递减，因此在实际应用中需要权衡计算量与近似误差，肯定是不可能取所有的n∈Zn \in \mathbb{Z}n∈Z，通常会只取Fourier展开的n=−Mn=-Mn=−M到n=Mn=Mn=M这几项做近似：
fp(x)≈∑n=−MMcnej2πnξ0xf_p(x) \approx \sum_{n=-M}^{M} c_n e^{j 2 \pi n \xi_0 x}fp(x)≈n=−M∑Mcnej2πnξ0x

下图展示了MMM取不同值时Fourier级数展开对矩形波的近似效果：

Matlab代码如下（因为我很久没用过Matlab了，老师又没给script，就先截张图放在这里）：

例2 假设xxx轴的单位为mmm，考虑下列三角波