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前言

1 问题一

1.1 问题重述

1.2 问题分析

1.3 解决方法描述

1.4 结果

2 问题二

2.1 问题重述

2.2 问题分析

2.3 解决方法描述

总结

前言

近日参加了校内的建模比赛，小组的选题为COVID-19相关的题目，笔者将此次主要参与解题的两小问做个记录（虽然解题方法很辣鸡，但还是厚颜无耻的贴上来了），有兴趣友友可以继续研究～

1 问题一

1.1 问题重述

实际中核酸检测并不是完全准确的，一个阴性样本，检测出来是阴性的概率是q，阳性的概率是1-q（假阳）；一个阳性样本，检测出来是阳性的概率是p，阴性的概率是1-p（假阴）；一般对阳性的结果都会对该样本进行二次复检，所以假阳基本会被排除，而对阴性的结果不会进行二次检测，所以假阴无法得知,一般情况q∈[0.95,0.99]，p∈[0.5,07]。如果有一个学生在核酸检测的后一天外出时感染了新冠病毒，且无任何症状，请问现在核酸检测有效期是72小时，那么通过学校的核酸检测，能够发现这个学生是阳性平均所需要的时间是多少天？（核酸检测当天出结果）

1.2 问题分析

我们假设：①当连续两次核酸检测结果都为阳性时，才可判定为确诊病例；②当检测结果为假阴的累计概率小于 0.05 时予以排除。

该学生在第1次核酸检测的后一天外出时感染了新冠病毒，按照常规72小时核酸检测制，那么下次核酸检测时间为 2 天后。2 天后进行第2次核酸检测时，有阴性和阳性两种核酸结果。如果是阳性，那么 24 小时后再进行第3次核酸检测，若核酸检测结果依然是阳性，则确定为感染者；如果是阴性，则 72 小时后再进行第3次核酸检测.......依此循环，并在每次循环时当检测结果为阴性时计算其概率和总检验天数。

1.3 解决方法描述

针对这个问题，笔者设计了一个循环判断方法，具体流程描述如下：

Step1：该阳性病例在核酸检测后的第二天感染，因此会在两天之后进行 72 小时制的常规核酸检测，由此定义初始筛查天数为 2 天。

Step:2：定义一个 0-1 变量 Xi ， i 表示为该阳性样本第 i 次进行核酸检测，变量 Xi 表示第 i 次核酸检测结果，若 Xi = 1，表示此次核酸检测呈阳性，否则为阴性

Step3：在每一次的核酸检测中，该阳性病例，检测出来是阳性的概率为p ，阴性的概率为1- p（假阴），且p ∈ [0.5,0.7]。利用随机函数在区间 [0.5,0.7] 中随机生成概率 p，再根据概率 p 随机生成Xi = 0 或 1。

Step4：若Xi = 1，则进入阳性判断循环，将此次的核酸检测次序 i 输入列表（列表记录了所有检测结果为阳性的检测次序 i），计算本次输入的次序 i 值与列表中上一个相邻元素的差值，若差值为 1，表示本次阳性的核酸检测与上一次阳性的核酸检测为连续采样，即连续两次核酸检测结果为阳性，该病例确诊，停止循环，计算当前累加的筛查天数并输出结果，若判断为否，则令筛查天数加 1，表示下一次进行核酸检测为 24 小时后；若Xi = 0，则进入阴性判断循环，计算累乘假阴性的概率P = （1 − p）n，并判断 P 是否小于 0.05，若判断为是，停止循环，计算当前累加的筛查天数，并输出结果，若判断为否，则令筛查天数加 3，表示下一次进行核酸检测为 72 小时后。

Step5：分别进行小、中、大三个规模实例的随机实验，对每次输出的筛查天数求均值，得到最终的平均筛查天数。

上述思路的流程图如图所示

代码如下：

import numpy as np
import randomsum_days = 0# 定义每次随机实验筛查耗费天数之和for j in range(0,5000):print("随机实验次数：【",j+1,"】")days=2# 定义初始天数sum_results = 0# 定义初始天数probability = 1# 定义事件发生概率r1_list = []# 定义核酸检测结果为阳性次序的列表for i in range(1,20):p = random.uniform(0.5, 0.7)# 概率p的取值范围p = float(format(p, '.3f'))# 按照区间随机生成三位小数r = np.random.binomial(1,p)# 按照概率p生成每次检测结果if r == 1:results = "阳性"else:results = "阴性"print("第",i,"次随机生成概率p，p值为",p,",本次检测结果为",results)# 检测结果为阳性，进入阳性的判断条件if r == 1:r1_list.append(i)sum_results += 1# 根据相邻两次检测结果为阳性的次序，判断是否为间隔24小时的采样if r1_list[sum_results-1]- r1_list[sum_results-2] != 1:# 一次检测结果为阳性，第二天继续采样检测days += 1else:# 连续两天检测结果为阳性，确诊print("连续两次检测结果为阳，确定为阳性，确诊耗费",days,"天\n")break# 检测结果为阴性，进入阴性的判断条件else:# 根据事件发生的累计概率，作为判断条件probability = probability * (1-p)if probability < 0.05:print("确诊假阴的事件概率小于0.05，确定为阳性，确诊耗费",days,"天\n")breakelse:# 未达到约束概率约束条件，则于72小时后进行下一次核酸检测days += 3 sum_days += daysmean_days = sum_days//j
print("生成【",j+1,"】个随机实例，查找该阳性病例的平均耗费时间为",mean_days,"天")

1.4 结果

通过实例规模为 1000 个、5000 个、10000 个的三次随机实验，实验结果如下图所示，得到平均筛查时间均为 7 天。

2 问题二

2.1 问题重述

以部分确诊数据（题目提供）为依据，建立合适的传染病模型。

2.2 问题分析

根据数据绘制散点图，大致观察确诊数量的变化情况。

可以发现规模呈现s型变化，即初期感染群体个体数很少，密度增长缓慢；中期随着感染群体中个体数增加，密度增长加快；中后期感染群体呈现爆发式扩大，密度增长最快；后期在防疫措施的加持下，感染群体的增长速度得到遏制，增长变慢。

查阅资料，发现Logistic回归模型的增长曲线与确诊数量增长线非常相似，

Logistic方程表达式如下，通过拟合数据，求解方程中的参数K、P0、r

2.3 解决方法描述

运用 Logistic模型，并进行数据拟合求解参数，代码如下：

import numpy as np #导入数值计算模块
import pandas as pd #导入数据处理模块
import matplotlib.pyplot as plt #导入绘图模块
from scipy.optimize import curve_fit #导入拟合模块plt.rcParams["font.sans-serif"]="SimHei" #黑体中文
plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False #显示负号data=pd.read_csv("C:/Users/TR/Desktop/数据分析/data.csv", encoding="gb18030") #读取数据
date=data['time'] #日期
confirm=data['infecter'] #确诊数
t=range(len(confirm)) #构造横轴#散点图
fig=plt.figure(figsize=(16,8)) #建立画布
ax=fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.scatter(t,confirm, color="red", label="确诊人数") #真实数据散点图
ax.set_xlabel("日期",  fontsize='15') #横坐标
ax.set_ylabel("累计确诊人数",  fontsize='15') #纵坐标
plt.title('3月1日-5月26日每日累计确诊病例变化图',  fontsize='25',fontweight='bold', color='black')#标题
ax.set_xticklabels(['','3月1号', '3月21号', '4月11号', '5月1号','5月22号'], rotation=30, fontsize=10) #自定义横坐标标签
plt.savefig('真实数据散点图.png', dpi = 500)#拟合
def logistic(t,K,P0,r): #定义logistic函数exp_value=np.exp(r*(t))return (K*exp_value*1)/(K+(exp_value-1)*1)coef, pcov = curve_fit(logistic, t, confirm) #拟合
print(coef) #logistic函数参数
y_values = logistic(t,coef[0], coef[1], coef[2]) #拟合y值
print(coef[0], coef[1], coef[2]) #打印参数K,P0,r
ax.plot(t,y_values,color="blue", label="拟合曲线") #画出拟合曲线plt.savefig('拟合结果图.png', dpi = 500)

总结

运用了比较简单的方法对问题进行了分析与处理。第二题的解决方法，最开始考虑的是传染病模型，如SI、SEIR等，奈何笔者基础太差，短时间内无法全部实现，所以转变思想改用Logistic模型。同样的，在翻阅Logistic模型相关的博客时，也发现有的博主利用网格调参的方法使参数更优，后续有空笔者会继续进行学习的！

参考资料：

python实现logistic增长模型拟合2019-nCov确诊人数

Logistic模型拟合COVID-19疫情以及Python实现

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