2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案-第一小题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案 的小题的参考答案。
▌第一小题 ▌
1. 已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶 变换，求下图所示的周期梯形信号和周期全波 余弦信号的傅里叶级数和傅里叶变换。
单个梯形信号的傅里叶变换：
8E(T−τ)ω2sin[ω(T+τ)4]sin[ω(T−τ)4]{{8E} \over {\left( {T - \tau } \right)\omega ^2 }}\sin \left[ {{{\omega \left( {T + \tau } \right)} \over 4}} \right]\sin \left[ {{{\omega \left( {T - \tau } \right)} \over 4}} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,(T−τ)ω28Esin[4ω(T+τ)]sin[4ω(T−τ)]
余弦脉冲信号 的傅利叶变换：
2ETπ⋅cos(ωT2)1−(ωTπ)2{{2ET} \over \pi } \cdot {{\cos \left( {{{\omega T} \over 2}} \right)} \over {1 - \left( {{{\omega T} \over \pi }} \right)^2 }}π2ET⋅1−(πωT)2cos(2ωT)
提示：三个字，“离散化”
Fp(ω)=ω1⋅∑n=−∞∞F0(nω1)δ(ω−nω1)F_p \left( \omega \right) = \omega _1 \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {F_0 \left( {n\omega _1 } \right)\delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}Fp(ω)=ω1⋅n=−∞∑∞F0(nω1)δ(ω−nω1)
▓ 求解：
根据周期信号的傅里叶变换是其单个周期信号的傅里叶变换进行“离散化”，所以：
梯形周期信号的傅里叶变换：
FTn=ω1⋅∑n=−∞+∞FT(nω1)⋅δ(ω−nω1)F_{Tn} = \omega _1 \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {F_T \left( {n\omega _1 } \right) \cdot \delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}FTn=ω1⋅n=−∞∑+∞FT(nω1)⋅δ(ω−nω1)=8E⋅ω1(T−τ)⋅∑n=−∞+∞1(nω1)2sin[nω1(T+τ)4]⋅sin[nω1(T−τ)4]⋅δ(ω−nω1)= {{8E \cdot \omega _1 } \over {\left( {T - \tau } \right)}} \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{1 \over {\left( {n\omega _1 } \right)^2 }}\sin \left[ {{{n\omega _1 \left( {T + \tau } \right)} \over 4}} \right] \cdot \sin \left[ {{{n\omega _1 \left( {T - \tau } \right)} \over 4}} \right] \cdot \delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}=(T−τ)8E⋅ω1⋅n=−∞∑+∞(nω1)21sin[4nω1(T+τ)]⋅sin[4nω1(T−τ)]⋅δ(ω−nω1)
余弦脉冲周期信号傅里叶变换：
FCn=ω1∑n=−∞+∞FC(nω1)⋅δ(ω−nω1)F_{Cn} = \omega _1 \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {F_C \left( {n\omega _1 } \right) \cdot \delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}FCn=ω1n=−∞∑+∞FC(nω1)⋅δ(ω−nω1)=2ET⋅ω1π⋅∑n=−∞∞cos(nω1T2)1−(nω1Tπ)2⋅δ(ω−nω1)= {{2ET \cdot \omega _1 } \over \pi } \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\cos \left( {{{n\omega _1 T} \over 2}} \right)} \over {1 - \left( {{{n\omega _1 T} \over \pi }} \right)^2 }} \cdot \delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}=π2ET⋅ω1⋅n=−∞∑∞1−(πnω1T)2cos(2nω1T)⋅δ(ω−nω1)=4E⋅∑n=−∞+∞11−4n2⋅δ(ω−nω1)= 4E \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{1 \over {1 - 4n^2 }} \cdot \delta \left( {\omega - n\omega _1 } \right)}=4E⋅n=−∞∑+∞1−4n21⋅δ(ω−nω1)
【其它各小题参考答案】
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