2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第十二小题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案 的内容。
▌第十二道题
12. 求出下面信号f1(t)f_1 \left( t \right)f1(t)与f2(t)f_2 \left( t \right)f2(t)之间的卷积：
（1）第一小题
f1(t)=u(t),f2(t)=e−atu(t)f_1 \left( t \right) = u\left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = e^{ - at} u\left( t \right)f1(t)=u(t),f2(t)=e−atu(t)
（2）第二小题
f1(t)=δ(t),f2(t)=cos(ωt+π2)f_1 \left( t \right) = \delta \left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \cos \left( {\omega t + {\pi \over 2}} \right)f1(t)=δ(t),f2(t)=cos(ωt+2π)
（3）第三小题
f1(t)=(1+t)[u(t)−u(t−1)],f2(t)=u(t−1)−u(t−2)f_1 \left( t \right) = \left( {1 + t} \right)\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right],\,\,\,f_2 \left( t \right) = u\left( {t - 1} \right) - u\left( {t - 2} \right)f1(t)=(1+t)[u(t)−u(t−1)],f2(t)=u(t−1)−u(t−2)
（4）第四小题
f1(t)=cos(ωt),f2(t)=δ(t+1)−δ(t−1)f_1 \left( t \right) = \cos \left( {\omega t} \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \delta \left( {t + 1} \right) - \delta \left( {t - 1} \right)f1(t)=cos(ωt),f2(t)=δ(t+1)−δ(t−1)
（5）第五小题
f1(t)=e−atu(t),f2(t)=sint⋅u(t)f_1 \left( t \right) = e^{ - at} u\left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \sin t \cdot u\left( t \right)f1(t)=e−atu(t),f2(t)=sint⋅u(t)
（6）第六小题
f1(t)=f2(t)=u(t)−u(t−1)f_1 \left( t \right) = f_2 \left( t \right) = u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)f1(t)=f2(t)=u(t)−u(t−1)
（7）第七小题
f1(t)=f2(t)=u(t−1)−u(t−2)f_1 \left( t \right) = f_2 \left( t \right) = u\left( {t - 1} \right) - u\left( {t - 2} \right)f1(t)=f2(t)=u(t−1)−u(t−2)
▌求解
解：
（1）第一小题
f1(t)=u(t),f2(t)=e−atu(t)f_1 \left( t \right) = u\left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = e^{ - at} u\left( t \right)f1(t)=u(t),f2(t)=e−atu(t)
求解：
- 第一种求解：
f1(t)∗f2(t)=u(t)∗e−at⋅u(t)f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = u\left( t \right) * e^{ - at} \cdot u\left( t \right)f1(t)∗f2(t)=u(t)∗e−at⋅u(t)=∫0te−aτdτ=−1ae−at∣0t=1a(1−e−at)⋅u(t)= \int_0^t {e^{ - a\tau } d\tau } = \left. { - {1 \over a}e^{ - at} } \right|_0^t = {1 \over a}\left( {1 - e^{ - at} } \right) \cdot u\left( t \right)=∫0te−aτdτ=−a1e−at∣∣∣∣0t=a1(1−e−at)⋅u(t)
- 第二中求解：
f1(t)∗f2(t)=df1(t)dt∗∫−∞tf2(τ)dτf_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = {{df_1 \left( t \right)} \over {dt}} * \int_{ - \infty }^t {f_2 \left( \tau \right)d\tau }f1(t)∗f2(t)=dtdf1(t)∗∫−∞tf2(τ)dτ=δ(t)∗[1α−1αe−αt]u(t)=1α(1−e−αt)u(t)= \delta \left( t \right) * \left[ {{1 \over \alpha } - {1 \over \alpha }e^{ - \alpha t} } \right]u\left( t \right)\, = {1 \over \alpha }\left( {1 - e^{ - \alpha t} } \right)u\left( t \right)=δ(t)∗[α1−α1e−αt]u(t)=α1(1−e−αt)u(t)
（2）第二小题
f1(t)=δ(t),f2(t)=cos(ωt+π2)f_1 \left( t \right) = \delta \left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \cos \left( {\omega t + {\pi \over 2}} \right)f1(t)=δ(t),f2(t)=cos(ωt+2π)
求解：
f1(t)∗f2(t)=δ(t)∗cos(ωt+π2)=cos(ωt+π2)f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = \delta \left( t \right) * \cos \left( {\omega t + {\pi \over 2}} \right) = \cos \left( {\omega t + {\pi \over 2}} \right)f1(t)∗f2(t)=δ(t)∗cos(ωt+2π)=cos(ωt+2π)
（3）第三小题
f1(t)=(1+t)[u(t)−u(t−1)],f2(t)=u(t−1)−u(t−2)f_1 \left( t \right) = \left( {1 + t} \right)\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right],\,\,\,f_2 \left( t \right) = u\left( {t - 1} \right) - u\left( {t - 2} \right)f1(t)=(1+t)[u(t)−u(t−1)],f2(t)=u(t−1)−u(t−2)
求解：
f1(t)∗f2(t)=∫−∞tf1(τ)dτ∗df2(t)dtf_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {f_1 \left( \tau \right)d\tau } * {{df_2 \left( t \right)} \over {dt}}f1(t)∗f2(t)=∫−∞tf1(τ)dτ∗dtdf2(t)=[∫0t(1+τ)dτ−∫1t(1+τ)dτ]∗[δ(t−1)−δ(t−2)]= \left[ {\int_0^t {\left( {1 + \tau } \right)d\tau } - \int_1^t {\left( {1 + \tau } \right)d\tau } } \right] * \left[ {\delta \left( {t - 1} \right) - \delta \left( {t - 2} \right)} \right]=[∫0t(1+τ)dτ−∫1t(1+τ)dτ]∗[δ(t−1)−δ(t−2)]=[(12t2+t)u(t)−(12t2+t−32)u(t−1)]∗[δ(t−1)−δ(t−2)]= \left[ {\left( {{1 \over 2}t^2 + t} \right)u\left( t \right) - \left( {{1 \over 2}t^2 + t - {3 \over 2}} \right)u\left( {t - 1} \right)} \right] * \left[ {\delta \left( {t - 1} \right) - \delta \left( {t - 2} \right)} \right]=[(21t2+t)u(t)−(21t2+t−23)u(t−1)]∗[δ(t−1)−δ(t−2)]=(12t2−12)u(t−1)+(−t2+t+2)u(t−2)+(12t2−t−32)u(t−3)= \left( {{1 \over 2}t^2 - {1 \over 2}} \right)u\left( {t - 1} \right) + \left( { - t^2 + t + 2} \right)u\left( {t - 2} \right) + \left( {{1 \over 2}t^2 - t - {3 \over 2}} \right)u\left( {t - 3} \right)=(21t2−21)u(t−1)+(−t2+t+2)u(t−2)+(21t2−t−23)u(t−3)
（4）第四小题
f1(t)=cos(ωt),f2(t)=δ(t+1)−δ(t−1)f_1 \left( t \right) = \cos \left( {\omega t} \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \delta \left( {t + 1} \right) - \delta \left( {t - 1} \right)f1(t)=cos(ωt),f2(t)=δ(t+1)−δ(t−1)
求解：
f1(t)∗f2(t)=[δ(t+1)−δ(t−1)]∗cos(ωt)=cos[ω(t+1)]−cos[ω(t−1)]f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = \left[ {\delta \left( {t + 1} \right) - \delta \left( {t - 1} \right)} \right] * \cos \left( {\omega t} \right) = \cos \left[ {\omega \left( {t + 1} \right)} \right] - \cos \left[ {\omega \left( {t - 1} \right)} \right]f1(t)∗f2(t)=[δ(t+1)−δ(t−1)]∗cos(ωt)=cos[ω(t+1)]−cos[ω(t−1)]
（5）第五小题
f1(t)=e−atu(t),f2(t)=sint⋅u(t)f_1 \left( t \right) = e^{ - at} u\left( t \right),\,\,\,f_2 \left( t \right) = \sin t \cdot u\left( t \right)f1(t)=e−atu(t),f2(t)=sint⋅u(t)
求解：
f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞sin(τ)u(τ)⋅e−α(t−τ)u(t−τ)dτ=∫0tsinτ⋅e−α(t−τ)dτf_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\sin \left( \tau \right)u\left( \tau \right) \cdot e^{ - \alpha \left( {t - \tau } \right)} u\left( {t - \tau } \right)d\tau } = \int_0^t {\sin \tau \cdot e^{ - \alpha \left( {t - \tau } \right)} d\tau }f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞sin(τ)u(τ)⋅e−α(t−τ)u(t−τ)dτ=∫0tsinτ⋅e−α(t−τ)dτ
由于sin(t)\sin \left( t \right)sin(t)是ejt=cos(t)+jsin(t)e^{jt} = \cos \left( t \right) + j\sin \left( t \right)ejt=cos(t)+jsin(t)的虚部
先考虑：∫0tejτ⋅e−α(t−τ)dτ\int_0^t {e^{j\tau } \cdot e^{ - \alpha \left( {t - \tau } \right)} d\tau }∫0tejτ⋅e−α(t−τ)dτ
∫0tejτ⋅e−α(t−τ)dτ=e−αt⋅∫0te(α+j)τdτ=eαt⋅1α+j[e(α+j)t−1]\int_0^t {e^{j\tau } \cdot e^{ - \alpha \left( {t - \tau } \right)} d\tau } = e^{ - \alpha t} \cdot \int_0^t {e^{\left( {\alpha + j} \right)\tau } d\tau } = e^{\alpha t} \cdot {1 \over {\alpha + j}}\left[ {e^{\left( {\alpha + j} \right)t} - 1} \right]∫0tejτ⋅e−α(t−τ)dτ=e−αt⋅∫0te(α+j)τdτ=eαt⋅α+j1[e(α+j)t−1]=[αcost+sint−αeαtα2+1+jαsint−cost+e−αtα2+1]u(t)= \left[ {{{\alpha \cos t + \sin t - \alpha e^{\alpha t} } \over {\alpha ^2 + 1}} + j{{\alpha \sin t - \cos t + e^{ - \alpha t} } \over {\alpha ^2 + 1}}} \right]u\left( t \right)=[α2+1αcost+sint−αeαt+jα2+1αsint−cost+e−αt]u(t)
所以：
f1(t)∗f2(t)=αsint−cost+e−αtα2+1u(t)f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = {{\alpha \sin t - \cos t + e^{ - \alpha t} } \over {\alpha ^2 + 1}}u\left( t \right)f1(t)∗f2(t)=α2+1αsint−cost+e−αtu(t)
（6）第六小题
f1(t)=f2(t)=u(t)−u(t−1)f_1 \left( t \right) = f_2 \left( t \right) = u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)f1(t)=f2(t)=u(t)−u(t−1)
求解：
f1(t)∗f2(t)=df(t)dt∗∫−∞tf(τ)dτf_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = {{df\left( t \right)} \over {dt}} * \int_{ - \infty }^t {f\left( \tau \right)d\tau }f1(t)∗f2(t)=dtdf(t)∗∫−∞tf(τ)dτ=[δ(t)−δ(t−1)]∗[tu(t)−(t−1)u(t−1)]= \left[ {\delta \left( t \right) - \delta \left( {t - 1} \right)} \right] * \left[ {tu\left( t \right) - \left( {t - 1} \right)u\left( {t - 1} \right)} \right]=[δ(t)−δ(t−1)]∗[tu(t)−(t−1)u(t−1)]=tu(t)−(t−1)u(t−1)−(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)= tu\left( t \right) - \left( {t - 1} \right)u\left( {t - 1} \right) - \left( {t - 1} \right)u\left( {t - 1} \right) + \left( {t - 2} \right)u\left( {t - 2} \right)=tu(t)−(t−1)u(t−1)−(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)=tu(t)−2(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)= tu\left( t \right) - 2\left( {t - 1} \right)u\left( {t - 1} \right) + \left( {t - 2} \right)u\left( {t - 2} \right)=tu(t)−2(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)=t[u(t)−u(t−1)]−(t−2)[u(t−1)−u(t−2)]= t\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right] - \left( {t - 2} \right)\left[ {u\left( {t - 1} \right) - u\left( {t - 2} \right)} \right]=t[u(t)−u(t−1)]−(t−2)[u(t−1)−u(t−2)]
（7）第七小题
f1(t)=f2(t)=u(t−1)−u(t−2)f_1 \left( t \right) = f_2 \left( t \right) = u\left( {t - 1} \right) - u\left( {t - 2} \right)f1(t)=f2(t)=u(t−1)−u(t−2)
求解：
f(t)∗f(t)=df(t)dt∗∫−∞tf(τ)dτf\left( t \right) * f\left( t \right) = {{df\left( t \right)} \over {dt}} * \int_{ - \infty }^t {f\left( \tau \right)d\tau }f(t)∗f(t)=dtdf(t)∗∫−∞tf(τ)dτ=[δ(t−1)−δ(t−2)]∗[(t−1)u(t−1)−(t−2)u(t−2)]= \left[ {\delta \left( {t - 1} \right) - \delta \left( {t - 2} \right)} \right] * \left[ {\left( {t - 1} \right)u\left( {t - 1} \right) - \left( {t - 2} \right)u\left( {t - 2} \right)} \right]=[δ(t−1)−δ(t−2)]∗[(t−1)u(t−1)−(t−2)u(t−2)]=(t−2)[u(t−2)−u(t−3)]−(t−4)[u(t−3)−u(t−4)]= \left( {t - 2} \right)\left[ {u\left( {t - 2} \right) - u\left( {t - 3} \right)} \right] - \left( {t - 4} \right)\left[ {u\left( {t - 3} \right) - u\left( {t - 4} \right)} \right]=(t−2)[u(t−2)−u(t−3)]−(t−4)[u(t−3)−u(t−4)]
▌附件
※ 每道题目参考答案见每道题目后面连接
- 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第一小题
- 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第二小题
- 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第三小题
- 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第四小题
- 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案-第五小题
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