数学分析原理 定理 6.4
如果$P*$是$P$的加细,那么
$$L(P,f,\alpha)\leq L(P^*,f,\alpha)$$
且
$$U(P^*,f,\alpha)\leq U(P,f,\alpha)$$
证明:这两个命题对于Riemann积分来说是显然成立的,之所以对于Riemann-Stieltjes积分也成立,是因为$\alpha$是$[a,b]$上的增函数的缘故.比方说,$m_3\geq m_2\geq m_1$时,我们有
$$(\max\{x_1,x_2\})(m_3-m_1)\geq x_1(m_2-m_1)+x_2(m_3-m_2)$$
而$m_3,m_2,m_1$在经过$\alpha$的作用之后,顺序关系是不变的.所以
$$(\max\{x_1,x_2\})(\alpha(m_3)-\alpha(m_1))\geq x_1(\alpha(m_2)-\alpha(m_1))+x_2(\alpha(m_3)-\alpha(m_2))$$
下面的那条式子同理.
转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/10/3827775.html
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