包含排斥原理

第三章 集合与关系第3讲 3-3 包含排斥原理 (容斥原理) 要求： 掌握n个集合的包含排斥原理，并应用它求解实际问题。 复习：集合的运算 (交、并、补、对称差) 1、交集 定义3-2.1：设任意两个集合A和B，由A和B的所有共同元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A?B。 A?B={x|x ? A?x ? B} 文氏图 2、并集 定义3-2.2：设任意两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为A和B的并集，记作A?B。 A?B={x|x ? A?x ? B} 文氏图 3、差集、补集 定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A的补集，或相对补，(或A和B差集)记作A-B。 A-B={x|x?A∧x?B} 文氏图 4、对称差 定义3-2.5：设A、B是任意两个集合，集合A和B的对称差，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属于B，记作A?B。 A?B=(A-B)?(B-A) 文氏图 (1)max(|A|，|B|)≤|A?B|≤|A|+|B| (2)|A?B|≤min(|A|，|B|) (3)|A|-|B|≤|A-B|≤|A| (4)|A?B|=|A|+|B|-2|A?B| 二、包含排斥原理 1、定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|，则|A1?A2|=|A1|+|A2|-|A1?A2|，此定理被称作包含排斥原理。 解：设A为从1到500的整数中，能被3除尽的数的集合。 B为从1到500的整数中，能被5除尽的数的集合。 则 ?A?=[500/3]=166 ([x]表示不超过x的最大整数) ?B?=[500/5]=100 ?A?B?=[500/(3*5)]=33 由包含排斥原理： ?A?B?=?A?+?B?-?A?B?=166+100-33=233 即从1到500的整数中，能被3或5除尽的数有233个。 解：设职员和学生的集合分别是A和B。由已知条件?A?=10，?B?=12，?A?B?=5，有 ?A?B?=?A?+?B?-?A?B?=10+12-5=17，则??(A?B)?=?E?-?A?B?=20-17=3。 有3名青年既不是职员又不是学生。 例题3 假设在10名青年中有5名是工人，7名是学生，其中兼具工人和学生双重身份的青年有3名，问有几名既不是工人又不是学生。 2、三个集合的包含排斥原理：对于三个集合A1，A2和A3，其元素个数分别为|A1|，|A2|，|A3|，则 |A1?A2?A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1?A2|-|A1?A3|-|A2?A3|+|A1?A2?A3| 例题4 在某工厂装配30辆汽车，可供选择的设备是收音机、空气调节器和对讲机。已知其中有15辆汽车有收音机，8辆有空气调节器，6辆有对讲机，而且其中有3辆汽车这三样设备都有。我们希望至少有多少辆汽车没有任何设备。 练习： 某年级有59名学生，期末考高等数学、线性代数和英语三门课。已知高等数学、线性代数和英语各门课的及格人数分别为47人、49人和50人。其中高等数学、英语都及格的有43人，线性代数和英语都及格的有42人，三门课都及格的有40人，三门课都不及格的有1人。问高等数学和线性代数都及格的有多少人？只有一门课及格的有多少人？ 解 设全集U为该年级全体学生的集合。 A为高等数学及格的学生的集合。 B为线性代数及格的学生的集合。 C为英语及格的学生的集合。 3、n个集合的包含排斥原理 定理3-3.2 设A1，A2，…，An为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|，…，|An|，则 解：设1到250间分别能被2，3，5，7整除的整数集合为A1，A2，A3，A4。设?x?表示不大于x最大整数， ?A1?=?250/2?=125，?A2?=?250/3?=83，?A3?=?250/5?=50，?A4?=?250/7?=35 ?A1?A2?=?250/(2*3)?=41，?A1?A3?=?250/(2*5)?=25，?A1?A4?=?250/(2*7)?=17， ?A2?A3?=?250/(3*5)?=16，?A2?A4?=?250/(3*7)?=11，?A3?A4?=?250/(5*7)?=7， ?A1?A2?A3?=?250/(2*3*5)?=8，?A1?A2?A4?=?250/(2*3*7)?=5， ?A1?A3?A4?=?250/(2*5*7)?=3，|A2?A3?A4?=?250/(3*5*7)?=2