组合数学 | 容斥原理与鸽巢原理

2024-05-11 18:01:54

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容斥原理

鸽巢原理

容斥原理

德摩根定理：设A,B为全集U的任意两个子集，则

德摩根定理推广：设A1,A2…An为U的子集，则

容斥原理：

两个集合的容斥原理

设A和B是分别具有性质P1和P2的元素的集合，则|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

三个集合上的容斥原理

设A,B,C为任意三个集合,则有|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

N个集合上的容斥原理

设A1,A2…An是有限集合，则有

容斥原理的余集形式

例：求在1到10000的整数中不能被4，5，6整除的数的个数。

解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整除的数，则

|A4| = 10000/4 = 2500，|A5| = 10000/4 = 2000，|A6| = 10000/6 = 1666，|A4∩A5|=10000/(4*5)=500，

|A4∩A6|=10000/(4*6)=833，|A5∩A6|=10000/(5*6)=333，| A4∩A5∩A6|=10000/(4*5*6)=166，

| A(—)4∩A(—)5∩A(—)6|=10000-(| A4 | + | A5 | + | A6 |) + | A4 ∩ A5 | + | A4 ∩ A6 | + | A5 ∩ A6 | − | A4 ∩ A5 ∩ A6 | = 5334

容斥原理的应用

错排问题

Dn = |A1∩A2∩…∩An| = n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!+…+(-1)nC(n,n)1!=n!(1- 11! + 12! - 13! +…+(-1)n1n!)

例：6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆顺手戴一顶走了，试问没一人拿对的概率是多少？

有限制的排列

例：求由a,b,c,d,e,f这6个字符构成的全排列中不允许出现ace和df图像的排列数

解：设S是由6个字符组成的全排列,|S| = 6!，A1是出现ace的排列，即ace作为一个单元参加全排列，|A1|=4！，A2是出现df的排列，即df作为一个单元参加全排列，|A2|=5！,不允许出现ace和df的排列即为A1∩A2=6!-(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|=720-(120+24)+6=582

相对禁位排列

欧拉函数

欧拉函数ϕ(n)等于比n小且与n互素的数的个数

棋盘多项式

禁位排列

禁位排列：在一个排列中禁止某些元素占据某些位置

鸽巢原理

定理：n+1只鸽子，只有n个巢，则至少有一鸽巢有两只鸽子

转自人民大学张同学笔记

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