文章目录

一、求 1 的傅里叶反变换
- 0、周期 2π 的单位脉冲函数
- 1、问题分析
- 2、涉及公式介绍
- 3、1 的傅里叶反变换
- 4、1 的傅里叶反变换

一、求 1 的傅里叶反变换

已知傅里叶变换

X(ejω)=2πδ~(ω)X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )X(ejω)=2πδ(ω)

求该傅里叶变换的反变换

ISFT[X(ejω)]ISFT[X(e^{j\omega})]ISFT[X(ejω)]

0、周期 2π 的单位脉冲函数

单位脉冲函数 ( 单位冲击函数 ) 对应的函数图像如下 : 横轴是 nnn , 纵轴是 δ(n)\delta (n)δ(n) ;

n=0n = 0n=0 时 , δ(n)=1\delta (n) = 1δ(n)=1
n=1n = 1n=1 时 , δ(n)=0\delta (n) = 0δ(n)=0

如果写成 δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以 2π2 \pi2π 为周期的 , δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 可以写成如下式子 :

δ~(ω)=∑m=−∞∞δ(ω−2πm)\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )δ(ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)

mmm 取值 (−∞,+∞)(-\infty , +\infty)(−∞,+∞) ;

其函数图像如下样式 :

1、问题分析

求 1 的傅里叶变换 SFT , 无法直接求出 , 这里求其傅里叶反变换 ;

δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 序列如下图所示 :

除了在 000 位置外 , 在 2π,4π,6π2\pi , 4\pi , 6\pi2π,4π,6π 等位置 , 都是无限冲激响应 ,

其物理意义是所有的能量 , 都集中在 ω=0\omega = 0ω=0 位置上 ;

周期信号信息都在其周期组织区间内 , 其它区间都是周期性重复的 , 因此这里只分析 [−π,π][-\pi , \pi][−π,π] 之间的信号 ;

δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 的物理意义是所有的能量都集中在 ω=0,±2π,±4π,⋯\omega = 0 , \pm2\pi , \pm 4\pi , \cdotsω=0,±2π,±4π,⋯ 位置上 ;

2、涉及公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域可以展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即根据傅里叶变换推导序列 ;

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

3、1 的傅里叶反变换

将

X(ejω)=2πδ~(ω)X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )X(ejω)=2πδ(ω)

带入到

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

傅里叶反变换公式中 , 可以得到如下公式 :

ISFT[X(ejω)]=12π∫−ππ2πδ~(ω)ejωkdωISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) e^{j \omega k} d \omegaISFT[X(ejω)]=2π1∫−ππ2πδ(ω)ejωkdω

−π-\pi−π ~ π\piπ 之间 , 只有 ω=0\omega = 0ω=0 点有值为 111 , 其它点都为 000 ,

当 ω=0\omega = 0ω=0 时 , 结果是 2π2\pi2π
当 ω≠0\omega \not=0ω=0 时 , δ~(ω)=0\widetilde{\delta} ( \omega ) = 0δ(ω)=0 , 结果都是 000 ;

因此 ,

∫−ππX(ejω)ejωk=1\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} = 1∫−ππX(ejω)ejωk=1

可得到下面的式子 :

ISFT[X(ejω)]=12π×2π=1ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \times 2 \pi = 1ISFT[X(ejω)]=2π1×2π=1

其中 , kkk 取值 (−∞,+∞)(-\infty , +\infty)(−∞,+∞) ;

4、1 的傅里叶反变换

最终可以得到一个公式 , 傅里叶变换如下 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

使用 111 替换上述 x(n)x(n)x(n) , 可以得到 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn

结合本博客中的示例 : 111 的傅里叶变换如下 ,

X(ejω)=∑n=−∞+∞e−jωn=2πδ~(ω)X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn=2πδ(ω)

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