一、求 a^nu(n) 傅里叶变换

求 anu(n)a^nu(n)anu(n) 的傅里叶变换 SFT[anu(n)]SFT[a^nu(n)]SFT[anu(n)] ?

其中 ∣a∣≤1|a| \leq 1∣a∣≤1 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域可以展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即根据傅里叶变换推导序列 ;

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

2、求 a^nu(n) 的傅里叶变换推导过程

将

anu(n)a^nu(n)anu(n)

序列 , 直接带入到

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

X(ejω)=∑n=0+∞ane−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n}X(ejω)=n=0∑+∞ane−jωn

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

X(ejω)=11−ae−jωX(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}X(ejω)=1−ae−jω1

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