【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换物理意义 | 反应信号在整个数字角频率上的能量分布 )
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- 一、傅里叶变换物理意义
一、傅里叶变换物理意义
x(n)x(n)x(n) 序列 的 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 的 物理意义 :
傅里叶变换 : 根据 x(n)x(n)x(n) 求 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) ,
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 根据 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 求 x(n)x(n)x(n) ,
x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
注意上面的
- x(n)x(n)x(n) 是 序列 ,
- X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 是 傅里叶变换 ;
傅里叶变换 物理意义 是 反应 信号 在 整个 数字角频率 ω\omegaω 上的 能量 分布 的情况 ;
任何一个周期函数 , 都可以使用 sin\sinsin 函数来组合 ;
任何一个函数 x(n)x(n)x(n) 序列 , 都可以使用
x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
表示 ,
其中 ejωke^{j \omega k}ejωk 是 单位复指数序列 ,
X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 是傅里叶变换 ,
∫−ππ\int_{-\pi} ^\pi∫−ππ 积分 表示 求和的极限过程 , 无数个 " 数字角频率 ω\omegaω " 在 [−π,π][-\pi , \pi][−π,π] 中 带有不同 加权系数 的 " 单位复指数序列 ejωne^{j\omega n}ejωn " 求和过程 ;
这些 " 复指数序列 " 代表 不同的 " 频率分量 " ,
加权系数 X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 称为 x(n)x(n)x(n) 的 " 频谱密度函数 " ;
" x(n)x(n)x(n) 序列 " 的 " 序列傅里叶变换 SFT=X(ejω)SFT =X( e^{j \omega } )SFT=X(ejω) " , 本质上是 该 " x(n)x(n)x(n) 序列 " 的一种分解 ;
cosω0T\cos \omega_0Tcosω0T 的 傅里叶变换 :
信号的所有能量都集中在 ω0\omega_0ω0 上 ,
傅里叶变换 反应 信号能量 在 频率 上的分布情况 ,
如果能量无穷 , 则在某个频率点的值是 无穷的 ;
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