文章目录

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
- 1、使用递推方法证明
- 2、证明线性
- 3、证明时不变
- - 先变换后移位
  - 先移位后变换
  - 时变系统结论

参考【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

" 线性常系数差分方程 "
" 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

线性常系数差分方程 :

y(n)−ay(n−1)=x(n)y(n) - ay(n - 1) = x(n)y(n)−ay(n−1)=x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y(0)=0y(0) = 0y(0)=0

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设系统的 " 输入序列 " 为 :

x(n)x(n)x(n)

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

y(n)=∑i=1nan−ix(i)u(n−1)y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1)y(n)=i=1∑nan−ix(i)u(n−1)

2、证明线性

假设

x(n)=ax1(n)+bx2(n)x(n) = ax_1(n) + bx_2(n)x(n)=ax1(n)+bx2(n)

将 y(n)=∑i=1nan−ix(i)u(n−1)y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1)y(n)=∑i=1nan−ix(i)u(n−1) 代入上述假设的 x(n)x(n)x(n) 式子中 ;

计算过程如下 :

y(n)=∑i=1nan−ix(i)u(n−1)y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1)y(n)=i=1∑nan−ix(i)u(n−1)

=∑i=1nan−i[ax1(n)+bx2(n)]u(n−1)= \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} [ ax_1(n) + bx_2(n) ] u(n - 1)=i=1∑nan−i[ax1(n)+bx2(n)]u(n−1)

=ay1(n)+by2(n)= ay_1(n) + by_2(n)=ay1(n)+by2(n)

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动 n0n_0n0 , 开始计算 " 输出序列 " , 查看修改前后的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

y(n)=∑i=1nan−ix(i)u(n−1)y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1)y(n)=i=1∑nan−ix(i)u(n−1)

移位后的 " 输出序列 " : 也就是先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

y(n−n0)=∑i=1n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0−1)y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1)y(n−n0)=i=1∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0−1)

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

x(n)x(n)x(n)

移位后的 " 输入序列 " :

x(n−n0)x(n - n_0)x(n−n0)

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

T[(n−n0)]=∑i=1nan−ix(i−n0)u(n−1)T[(n - n_0)] = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i - n_0)u(n - 1)T[(n−n0)]=i=1∑nan−ix(i−n0)u(n−1)

进行变量替换 , 假设 i′=i−n0i' = i - n_0i′=i−n0 , 使用 i=i′+n0i = i' + n_0i=i′+n0 替换 iii ,

=∑i=1−n0n−n0an−n0−ix(i)u(n−1)= \sum^{n - n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1)=i=1−n0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−1)

=∑i=1−n0−1an−n0−ix(i)u(n−1)+∑i=1−n0n−n0an−n0−ix(i)u(n−1)= \sum^{-1}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1) + \sum^{n-n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1)=i=1−n0∑−1an−n0−ix(i)u(n−1)+i=1−n0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−1)

=∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)=i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)

时变系统结论

先变换后移位的计算结果 : y(n−n0)=∑i=1n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0−1)y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1)y(n−n0)=i=1∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0−1)

先移位后变换的计算结果 : =∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)=i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)

这两个结果不同 , 因此该系统不是 " 时不变 " 系统 , 是时变系统 ;

【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )相关推荐

【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例二 | 修改边界条件 | 使用递推方法证明 )
文章目录一.根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例 1.使用递推方法证明 2 ...
【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )
文章目录一.根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例 1.根据 " ...
【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是线性时不变系统方法 )
文章目录一." 线性常系数差分方程 " 与 " 线性时不变系统 " 关联二.根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 ...
【贪玩巴斯】数字信号处理Digital Signal Processing（DSP）——第三节「离散时间系统详解」2021-09-29
数字信号处理Digital Signal Processing(DSP)--离散时间系统的详解~ 1. 离散时间系统 1.输入-输出描述 2.系统状态决定因素 3.结构图表示(考点) 重点例题 1. ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 序列实偶傅里叶变换实偶 | 序列实奇傅里叶变换虚奇 | 证明 “ 序列实奇傅里叶变换虚奇 “ )
文章目录一.序列实偶傅里叶变换实偶二.序列实奇傅里叶变换虚奇三.证明 " 序列实奇傅里叶变换虚奇 " 1.前置公式定理 ①.序列实部傅里叶变换 ②.序列虚部傅里叶 ...
【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 线性常系数差分方程与边界条件总结 ) ★★★
文章目录一.线性常系数差分方程与边界条件总结一.线性常系数差分方程与边界条件总结 " 线性常系数差分方程 " 中 , " 边界条件 / 初始条件 &quo ...
数字信号处理实验1：线性卷积与圆周卷积的计算、利用FFT快速卷积
杭电_数字信号处理课程设计_实验1 一.实验目的实验一目的: 1.掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用. 2.通过MATLAB编程,上机调试程序,进一步增强使用计算机解决问题的能力. ...
matlab如何进行数字信号处理,数字信号处理基础及MATLAB实现（第2版）
[内容简介] 本书系统地介绍了数字信号处理基本理论.设计方法和实现等方面的内容.全书共分9章,第1章介绍数字信号处理的研究对象.学科概貌.系统基本组成.特点.发展及应用等内容:第2章介绍离散时间信号与 ...
MATLAB_数字信号处理_04_离散系统的描述模型和频率响应分析
SYSU_SECE_数字信号处理_04 离散系统的描述模型和频率响应分析部分原理: 1.一个线性移不变(LSI)离散系统可以用线性常系数差分方程表示,这是系统在时域的表达式:对差分方程两边进行z变换 ...

【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )