【数字信号处理】相关函数 ( 自相关函数示例 )
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- 一、自相关函数 示例
一、自相关函数 示例
给定一个 " 周期函数 " :
x(n)=Asin(ωn)x(n) = A \sin (\omega n)x(n)=Asin(ωn)
其中 ω=2πN\omega = \cfrac{2\pi}{N}ω=N2π , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "
rx(m)r_x(m)rx(m)
" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :
rx(m)=1N∑n=0N−1x∗(n)x(n+m)r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m)rx(m)=N1n=0∑N−1x∗(n)x(n+m)
参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;
该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭 ∗^*∗ ;
rx(m)=1N∑n=0N−1x(n)x(n+m)r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)x(n+m)rx(m)=N1n=0∑N−1x(n)x(n+m)
将
x(n)=Asin(ωn)x(n) = A \sin (\omega n)x(n)=Asin(ωn)
代入到上面的式子中 ;
rx(m)=1N∑n=0N−1[Asin(ωn)][Asin(ω(n+m))]r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} [ A \sin (\omega n) ] [ A \sin (\omega ( n + m )) ]rx(m)=N1n=0∑N−1[Asin(ωn)][Asin(ω(n+m))]
展开式子 , 计算得到 :
rx(m)=1N∑n=0N−1A2sin(ωn)sin(ωn+ωm)r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} A^2 \sin (\omega n) \sin ( \omega n + \omega m ) rx(m)=N1n=0∑N−1A2sin(ωn)sin(ωn+ωm)
使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;
rx(m)=A2Ncosωm∑n=0N−1sin2ωn+A2Nsinωm∑n=0N−1sinωncosωnr_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega n + \cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega nrx(m)=NA2cosωmn=0∑N−1sin2ωn+NA2sinωmn=0∑N−1sinωncosωn
下面的式子
∑n=0N−1sinωncosωn=0\sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0n=0∑N−1sinωncosωn=0
值为 000 ,
当 n=0n = 0n=0 时 , sinωncosωn=0\sin \omega n \cos \omega n = 0sinωncosωn=0 ;
当 n=1n = 1n=1 时 , 与 n=N−1n = N-1n=N−1 时 , 抵消了 ;
当 n=2n = 2n=2 时 , 与 n=N−2n = N-2n=N−2 时 , 抵消了 ;
则最终结果为 0 , 则有 :
A2Nsinωm∑n=0N−1sinωncosωn=0\cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0NA2sinωmn=0∑N−1sinωncosωn=0
当前的推导相关函数为 :
rx(m)=A2Ncosωm∑n=0N−1sin2ωnr_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega nrx(m)=NA2cosωmn=0∑N−1sin2ωn
根据 三角函数公式 :
sin2α=(1−cos2α)2\sin^2 \alpha=\cfrac{(1-\cos2\alpha)}{2}sin2α=2(1−cos2α)
可得 :
sin2ωn=(1−cos2ωn)2\sin^2 \omega n = \cfrac{(1- \cos 2 \omega n)}{2}sin2ωn=2(1−cos2ωn)
带入到相关函数中 , 可得 :
rx(m)=A2Ncosωm∑n=0N−112(1−cos2ωn)r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \cfrac{1}{2} (1 - \cos 2 \omega n)rx(m)=NA2cosωmn=0∑N−121(1−cos2ωn)
下面的式子
∑n=0N−1cos2ωn=0\sum_{n = 0}^{N-1} \cos 2 \omega n = 0n=0∑N−1cos2ωn=0
值为 000 ,
则最终结果为 :
rx(m)=A22cosωmr_x(m) = \cfrac{A^2}{2} \cos \omega m rx(m)=2A2cosωm
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