DP——最优矩阵链乘最优三角剖分

最优矩阵链乘：

一个n*m的矩阵乘一个m*p的矩阵等于一个n*p的矩阵，运算量为mnp，现在有一组n个矩阵组成的序列，求运算量的最小值。

这是DP中的最优矩阵链乘问题，我们可以这么理解：用一个d[i][j]来存储第i个矩阵链乘到第j个矩阵的最优解，那么现在进行DP化，也就是找它的子解。我们把这组序列从中间不同位置裂开，记这个位置为k，那么不难得到d[i][j]=d[i][k]+d[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]，根据最优化原则，如果d[i][k]和d[k+1][j]都已经是最优解，那么我们只要取k为某值时d[i][j]为最小即可。

可以写出状态转移方程：d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j])，但要注意，这里如果用递推，i和j都是很难取的，因为这按i和j的区间递推的，所以我们按照j-i递增的顺序递推，长区间的值依赖与小区间的值。边界条件是d[i][i]=0。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int d[105][105],p[105];int main()
{int i, j,k,l;while (~scanf("%d", &n)){for (i = 1; i <= n; i++)scanf("%d%d", &p[i - 1], &p[i]);for (i = 1; i <= n; i++)d[i][i] = 0;for (l = 2; l <= n; l++)//按照j-i也就是区间的长度来递推{for (i = 1; i <= n - l + 1; i++){j = i + l - 1;d[i][j] = 0xfffffff;for (k = i; k <= j - 1; k++)d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]);}}printf("%d\n", d[1][n]);}return 0;
}

最优三角剖分：

对于一个n个顶点的凸三角形，用n-3条互不相交的对角线将其分成n-2个三角形，为每个三角形规定一个权函数w(i,k,j)（三角形的周长），求让所以三角形权值和最小的值。

还是区间DP的原理，从区间中找k，切出一个三角形和两个子多边形，进行DP即可，注意这里的边界为d[i][i]=d[i][i+1]=0。

状态转移方程为：d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j] + w(i, k, j))，i<k<j。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int n = 6;
int w[][n] = { { 0,2,2,3,1,4 },{ 2,0,1,5,2,3 },{ 2,1,0,2,1,4 },{ 3,5,2,0,6,2 },{ 1,2,1,6,0,1 },{ 4,3,4,2,1,0 } };
int d[10][10];int get_weight(int a, int b, int c)
{return (w[a][b] + w[a][c] + w[b][c]);
}int main()
{int i, j, l, k;for (i = 0; i <= n; i++)//边界条件{d[i][i] = 0;d[i][i + 1] = 0;}for (l = 2; l < n; l++){for (i = 0; i + l <= n-1; i++){j = i + l;d[i][j] = 0xffffff;for (k = i + 1; k < j; k++)d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j] + get_weight(i, k, j));}}printf("%d\n", d[0][n - 1]);return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/seasonal/p/10343738.html