Hesse矩阵极大极小值判断
正定矩阵:
- n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
- n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
- n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。
负定矩阵:
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的
半正定矩阵:
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零。
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零。
半负定矩阵:
n阶对称矩阵A是半负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于等于零,但至少有一个特征值等于零。
只要-A是半正定,则A就是半负定
极大值、极小值判断
函数在某点一阶导数为0,二阶Hesse矩阵为正定矩阵,则该点为严格极小值点
函数在某点一阶导数为0,二阶Hesse矩阵为负定矩阵,则该点为严格极大值点
函数在某点一阶导数为0,二阶Hesse矩阵不定,则该点为鞍点
例如∇2f(x)=[200−2]∇2f(x)=[−2002]都是不定Hesse矩阵例如 \nabla ^2f(x)=\left [ \begin{matrix} 2& 0 \\ 0& -2 \\ \end{matrix} \right ] \qquad \nabla ^2f(x)=\left [ \begin{matrix} -2& 0 \\ 0& 2 \\ \end{matrix} \right ] 都是不定Hesse矩阵 例如∇2f(x)=[200−2]∇2f(x)=[−2002]都是不定Hesse矩阵
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