bzoj-3670 [Noi2014]动物园

3670: [Noi2014]动物园
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题目描述
近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

输入
第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出
包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

样例输入
3
aaaaa
ab
abcababc

样例输出
36
1
32

提示
n≤5,L≤1,000,000

来源

题解
说实话题意有点不理解，为什么网上的标程对于长度为 1 的字符串会输出 1？

其实这和hdu-3336 Count the string这题很像。自己居然还是写不下来……

首先我们发现，某一段字符串中又是前缀又是后缀的最长子段就是 p[j]~j （假设这段字符串是原串的1~j）。
实际上还可能有更短的又是前缀又是后缀的子段，如何找到这种子段呢？
不容置疑，这种子段若存在于1~j 这段，那么也一定存在于1 ~ j - p[j] 这段。

详解，懂了就跳过。因为这段与 p[j]~j 这段相等，而若更短子段存在，那么这个子段必定是 p[j]~j 这段的某个子段。

所以我们每次都可以递归求出所有的子段，但是我们发现每次递归都是不断往前的，所以可以记忆化（也就是DP），f[i] 表示以 i 为结尾的前缀中，存在的既是前缀又是后缀的字符串数量（包括自身）。对于每个 i，p[i]（也等于当前的 j）就是最长的前缀又是后缀的字符串，所以 f[i] = f[p[i]] + 1 = f[j] + 1。

然而我们似乎忘记了一件事情，就是长度不能过半。那么每次 j 都往回推，推到一定的位置，再把这个当前的 f[j] 累计给 ans。
可是这不就退化成 N^2 的复杂度了吗？其实不然，因为我们的 j 一旦从 j1 往回推了以后到了 j2，那么接下来我们不用把 j 恢复到 j1 的位置，只需要从 j2 的位置继续就好了。

详解，懂了就跳过。因为那个往前递归的过程基本是相同的，重复的，比如 p={0,1,2,3,4,5}（其中字符串第 1 位下标为 1），那么第 4、5 位递归到第 2 位的过程如下：{4->3->2} {5->4->3->2}。所以我们是否只许在上一次的基础上，看看是否要继续往后。
如果还不理解，我们可以对上面的结论进行分类讨论。
如果 i 这位失陪了，p[i] = 0，那么不用说，f[i] = 1。注意：上一位没有失陪。那么 i-1 肯定处于一个循环节（所有可能循环节中最短的循环节）上（可能不是完整的循环节，比如 abcab 中的后缀 “ab”），那么，往回跳了，肯定还在一个相同的循环节上（若干个循环节，第一段的 p[i] 肯定都是 0，否则这就不是最短的循环节，而 j 是不可能跳过 0 的），既然是相同的循环节，那么不影响结果。
如果 i 这位没失陪，根据上述，肯定在一个循环节上（不一定完整），那么不影响。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,MOD=1000000007;
int T,n,p[maxn],f[maxn];
char s[maxn];
long long F()
{long long ans=1;memset(s,0,sizeof s);memset(f,0,sizeof f);scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);if (n<=1) return 0;int j=p[1]=0;f[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){while (j>0&&s[i]!=s[j+1]) j=p[j];p[i]=j+=s[i]==s[j+1];f[i]=f[j]+1;}j=0;for (int i=2;i<=n;i++){while (j>0&&s[i]!=s[j+1]) j=p[j];j+=s[i]==s[j+1];while (j>i/2) j=p[j];ans=ans*(f[j]+1)%MOD;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d",&T);while (T--) printf("%lld\n",F());return 0;
}

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