bzoj 3670: [Noi2014]动物园
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Description
近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。
某天,园长给动物们讲解KMP算法。
园长:“对于一个字符串S,它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内,求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗?”
熊猫:“对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作next[i]。”
园长:“非常好!那你能举个例子吗?”
熊猫:“例S为abcababc,则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab,ab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0,next[4] = next[6] = 1,next[7] = 2,next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
下课前,园长提出了一个问题:“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa,则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa,其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢?
特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出num[i]分别是多少,你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。
Input
第1行仅包含一个正整数n ,表示测试数据的组数。随后n行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S,S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。
Output
包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。
Sample Input
aaaaa
ab
abcababc
Sample Output
1
32
HINT
n≤5,L≤1,000,000
题解:
辅助数组:构造出一个cnt数组,cnt[i]=k表示长度为i的前缀(以P[1]开始)经过k次利用i=next[i]跳跃使i变成0。
构造方法:显然对与P[1],cnt一定等于1,即cnt[1]=1。对与字符串中的第g个字符,它的一次跳跃变成了next[g],所以cnt[g]=cnt[next[g]]+1;所以可以看出只要进行一次kmp,就可以构造出cnt[]。
使用方法:在进行一次kmp,但这次要保证 j*2≤ i,此时的cnt[j]就是Π (cnt[num[i]] + 1) (1 ≤ i ≤ len)中的num[]。
对cnt数组的解释:假设当前串是ababccabab,此时i=10,next[10]=4,cnt[4]=2。当进行第一次i=next[10]时,i=4,4的含义是最长匹配前后缀的长度,也就是说所以可能对num[i]有贡献的方案都在前4个字符内,在进行cnt[4]次跳转操作,实际上每一次跳转都是一种有效的情况(由next[]的性质可知)。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 #include<cstring> 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 const int mod=1000000007; 10 char P[1000010]; 11 LL N,next[1000010],lenP; 12 LL cnt[1000010];//cnt[i]表示长度为i的前缀经过几次next的跳转会变成 0 13 LL sum,ans=1; 14 int main(){ 15 scanf("%lld",&N); 16 while(N--){ 17 ans=1; 18 memset(next,0,sizeof(next)); 19 scanf("%s",P+1); lenP=strlen(P+1); 20 cnt[1]=1; 21 for(LL j=0,i=2;i<=lenP;i++){ 22 while(P[j+1]!=P[i]&&j) j=next[j]; 23 if(P[j+1]==P[i]) j++; 24 next[i]=j; 25 cnt[i]=cnt[j]+1; 26 } 27 LL ans=1; 28 for(LL i=2,j=0;i<=lenP;i++){ 29 while(P[j+1]!=P[i]&&j) j=next[j]; 30 if(P[j+1]==P[i]) j++; 31 while(j*2>i) j=next[j]; 32 ans=(1LL*ans*(cnt[j]+1))%mod; 33 } 34 printf("%lld\n",ans); 35 } 36 return 0; 37 }
转载于:https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/5167160.html
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