01分数规划淬炼神体

前言

听说教主有一次在ACMACM里面速A了一题最优比率生成树问题，然而后面许多人跟风失败….算了还是好好学习，天天向上，OrzOrz教主吧。

题意

给你n对数a[i],b[i]a[i],b[i],让你取m对，使得∑a[i]∑b[i]\frac{\sum a[i]}{\sum b[i]}最大。

数据范围

对于100%的数据，2≤K≤N≤100000，1≤a，b≤1000

分析

数学分析中一个很重要的方法就是分析目标式，这样我们来看目标式。

R=∑(a[i]∗x[i])/∑(b[i]∗x[i])R=\sum (a[i]*x[i])/\sum(b[i]*x[i])
这时可以设一个函数f(L)=∑a[i]∗x[i]−∑b[i]∗x[i]∗Lf(L)=\sum a[i]*x[i]-\sum b[i]*x[i]*L让这个式子尽量接近原式RR。
那么这时可以设f(L)>0,则∑a[i]∗x[i]−∑b[i]∗x[i]∗L>0f(L)>0,则\sum a[i]*x[i]-\sum b[i]*x[i]*L>0
移项∑a[i]∗x[i]>∑b[i]∗x[i]∗L\sum a[i]*x[i]>\sum b[i]*x[i]*L
再转成(∑a[i]∗x[i])/(∑b[i]∗x[i])(\sum a[i]*x[i])/(\sum b[i]*x[i])的形式：
(∑a[i]∗x[i])/(∑b[i]∗x[i])>L(\sum a[i]*x[i])/(\sum b[i]*x[i])>L
这时很明显L越大，则答案(∑a[i]∗x[i])/(∑b[i]∗x[i])(\sum a[i]*x[i])/(\sum b[i]*x[i])越大。（注意要保证f(l)>0f(l)>0）
这就是二分法了,去二分L，再去验证f(L)f(L)是否大于00,且这时的方案x[i]x[i]就可以先排个序（因为我们要使f(L)f(L)的值尽量的大）这时就可以不用理x[i]x[i]，直接变成了(∑a[i])/(∑b[i])(\sum a[i])/(\sum b[i])
模型：

二分法
L:=…;R:=…;
Repeat
Mid:=(L+R)/2;
For I=1..X do D[i]:=A[i]-Mid*B[i];//根据Mid计算D数组
if 检查（Mid）成功 then L:=Mid else R:=Mid；
Until abs(L-R)

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=100005;
int i,n,m,a[N],b[N];
double d[N],an,l,r,mid;
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);fo(i,1,n) {scanf("%d",&b[i]);}l=1;r=N;while (r-l>0.00001) {mid=(l+r)/2*1.0;fo(i,1,n) d[i]=a[i]-mid*b[i];sort(d+1,d+n+1);an=0;fd(i,n,n-m+1) an=an+d[i];if (an>0) l=mid; else r=mid;}printf("%.3lf",(l+r)/2*1.0);
}

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