解题报告：AcWing 1165. 单词环（01分数规划、hash、经验优化）

本题的关键在于：

建图
01分数规划
本题的数据过大，如果直接spfa判断会TLE，因此我们使用经验优化，就是如果所有的点入队的次数过多，比如大于100000，那么我们直接认为它是存在正环的。（免去TLE，但是这个不一定对）

建图

做一个对偶

主要是除了两端的两个字母有用以外，字符串中间的其他所有的字符都没有用，因此我们可以直接这样建图：直接hash两端的两个字母作为结点，边的权值为该字符串的个数。这样建的图结点和边的个数为1e7，没有超限。

如果我们直接像下面这样暴力建图，数据会达到1e10，不可取。

题目要求先判断是否有解：

如果m = 0的时候无解，那么m>0时更无解

01规划：

我们要求的是平均长度，也就是每一条字符串的长度之和除以总的字符串个数，换成数学公式即为下式（个数对于每一个字符串来说都是1）：
∑wi∑1\frac{\sum w_i}{\sum 1}∑1∑wi
要求这个值最大，满足单调性，很明显是一个01分数规划问题，自然使用二分答案。我们设答案为mid
那么如果当前答案不够需要更大，上式即为∑wi∑1>mid\frac{\sum w_i}{\sum 1}>mid∑1∑wi>mid
化简以后：∑wi>mid∗∑1\sum w_i>mid * \sum 1∑wi>mid∗∑1
∑wi>∑mid\sum w_i>\sum mid ∑wi>∑mid
∑wi−∑mid>0\sum w_i - \sum mid > 0∑wi−∑mid>0

那么也就是说对于每一个边，给它赋权值wi−midw_i - midwi−mid，如果存在正环，也就意味着有一个环的权值和大于0，也就是∑wi−∑mid>0\sum w_i - \sum mid > 0∑wi−∑mid>0，就意味着mid需要更大。

这里可以直接用权值建图，然后直接跑spfa，把不同的mid放到更新最短路时减去，因为每次只是-mid，跟其他的没有关系，就不用像上一道题那样每次重新建图了。

eps=1e-4，应该是double类型!

使用经验优化或者将队列换成栈都可以AC

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 1000, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-4;int ver[M],nex[M],edge[M],head[N],tot = 1;
int n;//这里的n是字符的个数
int m;
int q[N],cnt[N],vis[N];
double dist[N];void add(int x,int y,int z){ver[++tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot]  =head[x];head[x] = tot;
}bool check(double mid){memset(cnt,0,sizeof cnt);memset(vis,0,sizeof vis);int hh = 0,tt = 0;for(int i = 0;i < 676;++i){q[tt ++ ] = i;vis[i] = true;}int counts = 0;//经验优化while(hh != tt){int x = q[hh ++ ];if(hh == N)hh = 0;vis[x] = false;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(dist[y] < dist[x] + z - mid){dist[y] = dist[x] + z - mid;cnt[y] = cnt[x] + 1;counts ++ ;if(counts > 10000)return true;if(cnt[y] >= N)return true;if(!vis[y]){vis[y] = true;q[tt ++ ] = y;if(tt == N)tt = 0;}}}}return false;
}int main(){while(scanf("%d",&n) && n){memset(head,-1,sizeof head);tot = 1;for(int i = 1;i <= n;++i){char s[1010];scanf("%s",s);int len = strlen(s);if(len < 2)continue;int a = (s[0] - 'a' )* 26 + s[1] - 'a';int b = (s[len - 2] - 'a') * 26 + s[len - 1] - 'a';add(a,b,len);}if(!check(0))puts("No solution");else {double l = 0,r = 1000;while(r - l > eps){double mid = (l + r) / 2;if(check(mid))l = mid;else r = mid;}printf("%lf\n",r);}}return 0;
}

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