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判断负环

判正环求最长路，判负环求最短路

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N];     // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中// 如果存在负环，则返回true，否则返回false
bool spfa()
{// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自环），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。memset(dis,0,sizeof dis);//如果求正环，则初始化为负无穷memset(st,false,sizeof st);memset(cnt,0,sizeof cnt);queue<int> q;for(int i=0;i<=n;i++) q.puh(i),st[i]=true;//如果有虚拟超级源点和所有的点相连，那么只需加入源点即可int count=0;while(q.size()){int t=q.front();st[t]=false;q.pop();for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(dis[j]>dis[t]+w[i]){dis[j]=dis[t]+w[i];cnt[j]=cnt[t]+1;//if(++cont>4*N) return true;   当点的更新次数大于总点数的2~5倍时，就可认为存在环if(cnt[j]>=n) return true;if(!st[j]){q.push(j);st[j]=true;}}}}return false;
}

01分数规划

01分数规划问题可以用二分+负/正环判断解决。
我们要求的是平均长度，也就是每一条字符串的长度之和除以总的字符串个数，换成数学公式即为下式（个数对于每一个字符串来说都是1）：∑wi∑1\frac{\sum w_i}{\sum 1}∑1∑wi
要求这个值最大，满足单调性，很明显是一个01分数规划问题，自然使用二分答案。我们设答案为mid
那么如果当前答案不够需要更大，上式即为∑wi∑1>mid\frac{\sum w_i}{\sum 1}>mid∑1∑wi>mid化简以后：
∑wi>mid∗∑1\sum w_i>mid * \sum 1∑wi>mid∗∑1
∑wi>∑mid\sum w_i>\sum mid∑wi>∑mid
∑wi−∑mid>0\sum w_i - \sum mid > 0∑wi−∑mid>0

那么也就是说对于每一个边，给它赋权值wi−midw_i - midwi−mid，如果存在正环，也就意味着有一个环的权值和大于0，也就是∑wi−∑mid>0\sum w_i - \sum mid > 0∑wi−∑mid>0，就意味着mid需要更大。

这里可以直接用权值建图，然后直接跑spfa，把不同的mid放到更新最短路时减去，因为每次只是-mid，与其他的任何条件都没有关系，只需要建一次图，如果权值经过化简得到的是wi−xi∗midw_i - x_i* midwi−xi∗mid之类的就需要每次二分对mid进行check的时候，check函数里都新建一张权值为wi−xi∗midw_i - x_i* midwi−xi∗mid来判定是否有正/负环。具体代码在下面

判负环时TLE的优化技巧：

经验优化（如果总的入队次数超过一个挺大的值，我们根据经验判断一定存在负环才会导致运行时间慢，直接判定是负环，有WA的风险）
使用stack（能有效优化负环超时的问题，有TLE的风险）

经验`trick`

一般总入队次数超过总边数的2~5倍或者边数较小次数大于1e6即可判定为负环，但是会有WA的风险。

const int N = 1000, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;
double eps = 1e-4;int ver[M],nex[M],edge[M],head[N],tot = 1;
int n;//这里的n是字符的个数
int m;
int q[N],cnt[N],vis[N];
double dist[N];void add(int x,int y,int z){ver[++tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot]  =head[x];head[x] = tot;
}bool spfa(double mid){memset(cnt,0,sizeof cnt);memset(vis,0,sizeof vis);int hh = 0,tt = 0;for(int i = 0;i < 676;++i){q[tt ++ ] = i;vis[i] = true;}int counts = 0;//经验优化while(hh != tt){int x = q[hh ++ ];if(hh == N)hh = 0;vis[x] = false;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(dist[y] < dist[x] + z - mid){dist[y] = dist[x] + z - mid;cnt[y] = cnt[x] + 1;counts ++ ;if(counts > 10000)return true;if(cnt[y] >= N)return true;if(!vis[y]){vis[y] = true;q[tt ++ ] = y;if(tt == N)tt = 0;}}}}return false;
}int main(){while(scanf("%d",&n) && n){memset(head,-1,sizeof head);tot = 1;for(int i = 1;i <= n;++i){char s[1010];scanf("%s",s);int len = strlen(s);if(len < 2)continue;int a = (s[0] - 'a' )* 26 + s[1] - 'a';int b = (s[len - 2] - 'a') * 26 + s[len - 1] - 'a';add(a,b,len);}if(!check(0))puts("No solution");else {double l = 0,r = 1000;while(r - l > eps){double mid = (l + r) / 2;if(spfa(mid))l = mid;else r = mid;}printf("%lf\n",r);}}return 0;
}

使用`stack`

注意，stack只有在判断负环的情况下会有高效的优化作用，一般的spfa中队列比栈的性能更佳

bool spfa(double mid){memset(cnt,0,sizeof cnt);memset(vis,0,sizeof vis);int hh = 0,tt = 0;for(int i = 0;i < 676;++i){q[tt ++ ] = i;vis[i] = true;}int counts = 0;//经验优化while(hh != tt){int x = q[-- tt];vis[x] = false;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(dist[y] < dist[x] + z - mid){dist[y] = dist[x] + z - mid;cnt[y] = cnt[x] + 1;if(cnt[y] >= N)return true;if(!vis[y]){vis[y] = true;q[tt ++ ] = y;}}}}return false;
}

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spfa 判断负环 (转载)
当然,对于Spfa判负环,实际上还有优化:就是把判断单个点的入队次数大于n改为:如果总的点入队次数大于所有点两倍时有负环,或者单个点的入队次数大于sqrt(点数)有负环.这样时间复杂度就降了很多了. ...
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模板 - 判断负环（超时高效优化技巧）、01分数规划

判断负环

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