矩阵初等行变换法则

任一行可以与另一行进行加减。
任一行可以乘或除以一个非零常数（除其实就是乘一个倒数）。
任两行可以交换位置。

线性方程组

形如
a1,1x1+a1,2x2+⋯+a1,nxn=b1a2,1x1+a2,2x2+⋯+a2,nxn=bn⋮an,1x1+an,2x2+⋯+an,nxn=bna_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,n}x_n=b_n \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,n}x_n=b_n a1,1x1+a1,2x2+⋯+a1,nxn=b1a2,1x1+a2,2x2+⋯+a2,nxn=bn⋮an,1x1+an,2x2+⋯+an,nxn=bn
其中，系数矩阵为
A=(a1,1a1,2…a1,na2,1a2,2…a2,n⋮⋮⋮⋮an,1an,2…an,n)A=\left( \begin{matrix} &a_{1,1} &a_{1,2} &\dots &a_{1,n} \\ &a_{2,1} &a_{2,2} &\dots &a_{2,n} \\ &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ &a_{n,1} &a_{n,2} &\dots &a_{n,n} \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎜⎜⎜⎛a1,1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2……⋮…a1,na2,n⋮an,n⎠⎟⎟⎟⎞
右值向量（矩阵）为
B=(b1b2⋮bn)B=\left ( \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{matrix} \right) B=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞
解向量为
X=(x1x2⋮xn)X=\left ( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right) X=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞
因此，方程组可表示为
AX=BAX=B AX=B

矩阵的秩

矩阵可由初等行变换化为行最简形矩阵，所谓行最简型矩阵，即在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。矩阵的秩就是行最简形矩阵非零行的个数，以r(M)r(M)r(M)来表示矩阵MMM的秩。如：
M=(100−1010−20012)M=\left (\begin{matrix} &1 &0 &0 &-1 \\ &0 &1 &0 &-2 \\ &0 &0 &1 &2 \end{matrix} \right) M=⎝⎛100010001−1−22⎠⎞
则r(M)=3r(M)=3r(M)=3

高斯消元法(列主元法)

其实就是线性代数中的矩阵行化简算法。

思路

要解上述方程组，需要引入增广矩阵

(A⋮b)=(a1,1a1,2…a1,nb1a2,1a2,2…a2,nb2⋮⋮⋮⋮⋮an,1an,2…an,nbn)(A\vdots b)= \left( \begin{matrix} &a_{1,1} &a_{1,2} &\dots &a_{1,n} &b_1 \\ &a_{2,1} &a_{2,2} &\dots &a_{2,n} &b_2 \\ &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ &a_{n,1} &a_{n,2} &\dots &a_{n,n} &b_n \\ \end{matrix} \right) (A⋮b)=⎝⎜⎜⎜⎛a1,1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2……⋮…a1,na2,n⋮an,nb1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞

其实就是在系数矩阵AAA右侧添加右值向量bbb

若r(A)=r(A⋮b)r(A)=r(A\vdots b)r(A)=r(A⋮b)且r(A)=nr(A)=nr(A)=n，则方程组有唯一解
若r(A)=r(A⋮b)r(A)=r(A\vdots b)r(A)=r(A⋮b)且r(A)≠nr(A)\ne nr(A)=n，则方程组有无穷个解
若r(A)≠r(A⋮b)r(A)\ne r(A\vdots b)r(A)=r(A⋮b)，则方程组无解

算法思想

假设行数为1∼n1 \sim n1∼n，列数为1∼n+11\sim n+11∼n+1

化简矩阵

初始化当前行为i=1i=1i=1
在i∼ni\sim ni∼n行中寻找绝对值最大的aiia_{ii}aii所在行jjj （最大系数可减小误差）
若ajj=0a_{jj}=0ajj=0则说明r(A)≠nr(A)\ne nr(A)=n，无唯一解，返回falsefalsefalse
交换第i,ji,ji,j两行，使得增广矩阵保持为上三角矩阵
第iii行所有元素除以系数aiia_{ii}aii
若i=ni=ni=n说明这是末尾行，结束矩阵化简，在求解向量后返回1
第i+1∼ni+1\sim ni+1∼n行，减去ai+1,ia_{i+1,i}ai+1,i倍第iii行，消除其余行的第iii列系数
i=i+1i=i+1i=i+1，跳回到第222步，寻找下一行

求解向量

此时矩阵为
(A⋮b)=(1a1,2…a1,nb11…a2,nb2⋱⋮1bn)(A\vdots b)= \left( \begin{matrix} &1 &a_{1,2} &\dots &a_{1,n} &b_1 \\ & &1 &\dots &a_{2,n} &b_2 \\ & & &\ddots & &\vdots \\ & & & &1 &b_n \\ \end{matrix} \right) (A⋮b)=⎝⎜⎜⎜⎛1a1,21……⋱a1,na2,n1b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞
即
x1+a1,2x2+⋯+a1,nxn=b1x2+a2,3x3+⋯+a2,nxn=b2xn=bnx_1+a_{1,2}x_2+\dots +a_{1,n}x_n=b_1 \\ x_2+a_{2,3}x_3+\dots +a_{2,n}x_n=b_2 \\ x_n=b_n x1+a1,2x2+⋯+a1,nxn=b1x2+a2,3x3+⋯+a2,nxn=b2xn=bn
此时有
xn=bnxn−1=bn−1−an−1,n∗bn⋮x1=b1−a1,n∗bn−a1,n−1∗bn−1−…a1,2a2x_n=b_n \\ x_{n-1}=b_{n-1}-a_{n-1,n}*b_n \\ \vdots \\ x_1=b_{1}-a_{1,n}*b_n-a_{1,n-1}*b_{n-1}-\dots a_{1,2}a_2 xn=bnxn−1=bn−1−an−1,n∗bn⋮x1=b1−a1,n∗bn−a1,n−1∗bn−1−…a1,2a2
解向量为
X=(x1x2⋮xn)X=\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right) X=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞

算法模板

int gauss(double num[100][101],int n,double x[]){for(int i=0;i<n;i++){//循环n次,第i轮循环行为i~n-1，列为i~nint maxRow=i;//maxRow记录系数最大的行，作为被减行减小误差for(int j=i+1;j<n;j++){if(abs(num[j][i])>abs(num[maxRow][i])) maxRow=j;}if(abs(num[maxRow][i])<zero) return 0;//x系数为0则增广矩阵无唯一解,返回0if(maxRow!=i){//交换最大行到i行,使之保持为上三角矩阵for(int j=i;j<n+1;j++){swap(num[maxRow][j],num[i][j]);}}for(int j=n;j>=i;j--){//化最大行第一个系数为1num[i][j]/=num[i][i];//从后向前除以系数,否则需要临时变量记录[i][i]的系数}for(int j=i+1;j<n;j++){//被系数行减去for(int k=n;k>=i;k--){num[j][k]-=num[j][i]*num[i][k];//减去了系数行乘以对应系数}}}for(int i=n-1;i>=0;i--){//逆向求解向量x[i]=num[i][n];//赋初值使得ax=bfor(int j=i+1;j<n;j++)x[i]-=num[i][j]*x[j];//减去其他解向量}return 1;
}

例题

题目链接

题目背景

Gauss消元

题目描述

给定一个线性方程组，对其求解

输入格式

第一行，一个正整数 nnn
第二至 n+1n+1n+1行，每行n+1n+1n+1个整数，为a1,a2⋯ana_1, a_2 \cdots a_na1,a2⋯an和bbb，代表一组方程。

输出格式

共nnn行，每行一个数，第iii行为xix_ixi（保留2位小数）
如果不存在唯一解，在第一行输出"No Solution".

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

-0.97
5.18
-2.39

说明/提示

1≤n≤100,∣ai∣≤104,∣b∣≤1041 \leq n \leq 100, \left | a_i \right| \leq {10}^4 , \left |b \right| \leq {10}^41≤n≤100,∣ai∣≤104,∣b∣≤104

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define zero 1e-10
using namespace std;
int gauss(double num[100][101],int n,double x[]){for(int i=0;i<n;i++){//循环n次,第i轮循环行为i~n-1，列为i~nint maxRow=i;//maxRow记录系数最大的行，作为被减行减小误差for(int j=i+1;j<n;j++){if(abs(num[j][i])>abs(num[maxRow][i])) maxRow=j;}if(abs(num[maxRow][i])<zero) return 0;//x系数为0则增广矩阵无唯一解,返回0if(maxRow!=i){//交换最大行到i行,使之保持为上三角矩阵for(int j=i;j<n+1;j++){swap(num[maxRow][j],num[i][j]);}}for(int j=n;j>=i;j--){//化最大行第一个系数为1num[i][j]/=num[i][i];//从后向前除以系数,否则需要临时变量记录[i][i]的系数}for(int j=i+1;j<n;j++){//被系数行减去for(int k=n;k>=i;k--){num[j][k]-=num[j][i]*num[i][k];//减去了系数行乘以对应系数}}}for(int i=n-1;i>=0;i--){//逆向求解向量x[i]=num[i][n];//赋初值使得ax=bfor(int j=i+1;j<n;j++)x[i]-=num[i][j]*x[j];//减去其他解向量}return 1;
}
int main(){int n;double num[100][101];//矩阵大小是n*n+1double x[100];//存储解向量xscanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n+1;j++){scanf("%lf",&num[i][j]);}}if(gauss(num,n,x)){for(int i=0;i<n;i++){printf("%.2lf\n",x[i]);}}else{printf("No Solution");}return 0;
}
/*
3
1 3 4 5
1 4 7 3
9 3 2 2
*/

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