高维空间中椭圆的基本方程
二维空间下椭圆基本方程为
(1)
这个是我们大家都熟知的,但是,如果背景空间不是二维空间,而是N维欧式空间中的椭圆,其表达式应该是什么样式的?
为了对这个问题论证比较严格,在下述过程中采用了微分几何中的一些思想,而且用了微分几何中的一些标记。但是如果没有微分几何的基础也能够看懂。这个问题的本质在于坐标变换。只要对坐标变换有一些了解,理解以下内容并没有难度。
椭圆方程写为参数方程形式为:
(2)
其中,x上标1和2,本质意思是表示在第一轴和第二轴上的分量
这个参数方程可以看做是以下参数方程的简写:
(3)
对原理不要求理解的可以忽略双线内的这几段,对方法掌握无影响
《======================================================
然后(2)可以写为另一种等价的形式:
(4)
(3)按照同样的方法也可以写为同样的形式:
(5)
其中,是微分几何中对于坐标基矢的表示,对应于我们在三维直角坐标系中习惯用的,由于是N维欧式空间,用只能表示三维,不方便,所以直接用微分几何的符号,只需记住,这两组符号是等价的即可。
================================================================================》
于是,(4)可以将坐标基矢全部省略,写为
(6)
其中,
(7)
在新的坐标系中,椭圆在各个坐标轴方向的分量为
(8)
于是,根据(7)可以得到,
(12)
整理得
或是
(14)
所以,得到结论,高维空间中椭圆方程为普通形式为(13)或者(14).
但有点需要注意, (13)或者(14) 得到的结果并不一定一定是椭圆,还可能是椭圆的两种退化形式,椭圆的偏心率e所在的范围是(0,1),不包括边界,所以两种退化形式,一个是偏心率e=0时,即为圆,另一个是偏心率e=1,退化为线段。是否椭圆,还有一些判别公式,相关理论还没整理完成,暂时不论证了。
该套方法可以将低维空间中任意函数曲线扩展到高维空间中,并不只限于椭圆
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