高斯－若尔当消元法(英语：Gauss-Jordan Elimination)，或译为高斯-约旦消元法，简称G-J消元法，是数学中的一个算法，是高斯消元法的另一个版本。它在线性代数中用来找出线性方程组的解，其方法与高斯消去法相同。唯一相异之处就是这算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。

中文名

高斯-若尔当消元法

外文名

Gauss-Jordan Elimination

领    域属    性

高斯消元法的另一个版本

其他译名

高斯-约旦消元法

简    称

G-J消元法

高斯-若尔当消元法简介

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数学上，高斯消元法(或译：高斯消去法)，是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组[1]

。

图1Gauss-Jordan消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组，等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定， 同时它的求解过程也比较清晰明了， 因而人们使用较多。相对于高斯消元法，Gauss-Jordan消元法最后的得到线性方程组更容易求解，它得到的是简化行列式。其转化后的增高矩阵形式如图1所示，因此它可以直接求出方程的解，而无需使用替换算法。但是，此算法的效率较低。

高斯-若尔当消元法G-J消元法的初等变换方法

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G-J 消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换 (无需列变换) 移动到矩阵的主对角线上， 然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为 1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数， 使得主元所在的列内、 除主元外的其他元素化为 0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。 这就是一个循环内做的工作。 然后， 在第二轮循环的过程中， 不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素， 在剩下的矩阵范围内寻找主元， 然后(如果其不在主对角线上的话) 将其移动到主对角线上， 并再次进行列的处理， 将列化为单位矩阵的形式。 余下的步骤依此类推。 具体的计算过程的一个例子， 请看下面求逆矩阵的过程的例子。

高斯-若尔当消元法Gauss-Jordan法求解方程组过程

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高斯-若尔当消元法引例

假设有如下的方程组：

写成矩阵形式就是： AX=B ，其中：

且，现对矩阵 A 作初等变换，同时矩阵 B 也作同样的初等变换，则当 A 化为单位矩阵的时候，有：

显而易见，我们得到了方程组的解：。

所以， 我们要以一定的策略， 对 A 和 B 施以一系列的初等变换， 当 A 化为单位矩阵的时候，B 就为方程组的解。

高斯-若尔当消元法求解过程

如果要解系数矩阵相同、右端向量不同的 N 个方程组，在设计程序的时候，没有必要 ”解 N次方程组 “，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构(类似于二维数组)来表示， 在系数矩阵作行变换的时候， 矩阵里的每一个右端向量也做同样的变换， 这样，我们在一次求解运算的过程中，实际上就是同时在解 N 个方程组了。

高斯-若尔当消元法用G-J消元法求逆

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高斯-若尔当消元法原理

假设 AX=E ，其中， A 为 n 阶系数矩阵(与上面的解线性方程组对照)；E 为单位矩阵，即，其中为单位列向量； X 为 n 个列向量构成的矩阵，即，其中为列向量。于是，可以把等式 AX=E 看成是求解 n 个线性方程组，求出了所有的之后，也即得到了矩阵 X。而由 AX=E 可知，矩阵 X 是 A 的逆矩阵，即。这样，就求出了 A 的逆矩阵了。于是，求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程，因此我们可以用 Gauss-Jordan 消元法来求逆矩阵。求逆矩阵时，系数矩阵 A 和单位矩阵 E 可以共用一块存储区，在每一次约化过程中，系数矩阵逐渐被其逆矩阵替代。

高斯-若尔当消元法示例

有如下的方程组：

显而易见，该方程组对应的系数矩阵 A 和右端向量矩阵 B(此处只有一个右端向量)分别为：

其实在求逆矩阵的过程中，矩阵 B 无关紧要，可以忽略，不过此处还是把它写出来了。下面，把单位矩阵 E 附在 A 的右边，构成另一个矩阵(A|E)：

下面，通过矩阵的初等变换，将 A 化为单位矩阵 E，而 E 则化为了 A 的逆矩阵。以下是转化步骤：

(1)主元选为 3，所以将 Row1 (第一行)与 Row2 (第二行)交换：

(2)主元所在行的所有元素除以主元：

(3)Row1 – Row2 ，Row3 – 2 × Row2 ：

现在，原来的矩阵 A 有一列被化为了单位阵的形式。

(4)重新选主元，这一次主元选为 5/3，于是 Row1 ÷ 5/3 (主元所在行的所有元素除以主元)：

(5)Row2 – (1/3) × Row1 ，Row3 – (4/3) × Row1 ：

现在，原来的矩阵 A 又有一列被化为了单位阵的形式。

(6)重新选主元，这一次主元选为 -1/5 ，于是 Row3 ÷ (-1/5) (主元所在行的所有元素除以主元)：

(7)Row1 – (2/5) × Row3 ，Row2 – (1/5) × Row3 ：

现在，原来的矩阵 A 的所有列都被化为了单位阵的形式。可见，以上过程非常适合于计算机编程求解。至此，我们完成了从 A 到 E 的转换，这个过程中使用了选主元的方法，但没有使用列交换。于是，原来的单位矩阵 E 就变成了，即：

词条图册

更多图册

参考资料

1.

华健,韩学山,王锦旗,陈芳,李超. 改进高斯消元算法在电力系统拓扑结构分析中的应用[J]. 电网技术,2007,(23):57-61.