作业辅导视频 SS2023-HW10：Laplace反变换-因式分解方法-必做题部分
拉普拉斯反变换-第一部分
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01 第十次作业
一、习题简介
Laplace 变换的正变换和反变换 是应用其解决工程问题的基础。 掌握常见信号对应的变换对理解和应用 Laplace 变换非常重要。 在反变换中， 常使用的方法是留数法 和因式分解方法。 在第十次作业中，给出了一些有理分式的 Laplace变换， 练习应用因式分解方法对它们进行反变换。 下面让我门看一下求解过程。
二、习题求解
1、必做题
前面七个小题是基础练习题， 第一小题是因式分解方法的基本题型。 它对应单边指数信号的 Laplace 变换， 极点对应着指数信号的系数。 对于这个小题来说， 对应的一阶实数极点 -10， 所以对应的指数信号为 e 的负10 t， t 大于等于0。 本题目缺省的情况下都是指单边 Laplace 变换。
第二小题， 带有两个一阶极点， 分别位于 0 和 负四分之一。 它可以分解成两个一阶有理分式， 对于系数 A， 可以通过计算有理分式在 0 点的留数获得， 根据留数计算第一法则， 可以得到 A 的结果， 它等于 12。 下面考虑系数B， 根据同样的方法， 利用留数计算法则， 可以获得系数 B的结果， 它等于 负 12。 这样，就可以得到第二小题对应的因式分解。 下面分别写出每个因式对应的时间信号。 将它们合并便得到对应的时间信号了。 这是第二小题的答案。
在第二小题的基础上， 求解第三小题就使用相同的方法， 对于给定的有理分式 进行因式分解， 然后写出对应的时域表达式， 这个过程与第二小题是一样的。
第四小题有点特别， 就是它有一个二阶因式， 可以凑成基本正弦振荡信号的 Laplace 变换的形式， 对应着 三分之一，sine 3t。 对于常量 2， 它对应着 2倍的 delta(t)， 它们组合起来对应着时域信号。 这是该小题的 Laplace 反变换结果。
第五小题， 只是增加了两个常数系数RC， 对于分式的因式分解， 所使用的方法还是相同的， 每个极点对应一个一阶因式， 对应的系数 仍然可以利用留数法则进行计算， 由此可以获得两个分解因式的系数， 它们分别是1和 -1。 然后在写出对应的时域信号， 最终可以得到对应的 Laplace 反变换结果。 所以因式分解方法同样适用于带有符号系数的 Laplace 反变换计算。
第六小题则将前面各小题的困难融合在了一起， 它既包含有一阶、二阶因式，同时也包含有符号系数。 在这里所采取的策略就是但它分解成 典型信号对应的一阶和二阶因式。因式中的存在三个待定系数， 则采用多项式系数平衡方法进行求解。 先将分解的因式进行合并， 然后在合并同类项， 对照分解前后分子多项式的系数， 可以列写出三个方程。 通过求解方程，可以得到待定系数的数值。 将其代入分解因式， 便可以获得分解后的结果了。 其中包括有cosine函数， sine 函数， 以及一个指数函数对应的因式。 将它们写出，便可以获得最终的变换结果。 这一小题应该是本次作业中最为复杂的一个题目了。
第七小题， 虽然看起来分式蛮复杂的， 单后来发现在出题的时候一不小心犯了个错误， 也就是分子的因式可以与分母的一个因式相互抵消， 所以最终形成一个带有二阶极点的因式。 对于这个二阶极点， 它对应的时域信号， 是在单阶极点对应的指数信号的基础上， 增加了信号 t。 这是本小题的答案。
※ 总 结 ※
本文对于第十次作业中的 Laplace 反变换习题进行了介绍。 原本这个小题还有另外 八个选做小题， 为了缩短视频的时间， 剩余八个小题则另外制作视频进行介绍。
■ 相关文献链接:
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