第三次作业：微分方程求解

信号与系统 2023（春季）作业要求 - 第三次作业
信号与系统 2023（春季）作业参考答案 - 第三次作业

01 微分方程

一、前言

第三次作业中有一道微分方程求解的作业题，这是用于复习微分方程经典求解方法。给定的二阶微分方程，输入信号为 t, u(t)，这是一个单位斜变信号。已知两个起始条件，输出信号在 0 负时刻的取值和导数。分别求出：系统的完全响应，并指出期中的零输入、零状态响应；自由响应、强迫相应；瞬态和稳态响应等。最后给出系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。下面就让我们按照经典的“三部曲”方法，来进行求解。其中需要应用到“奇异函数匹配”方法完成起始条件的确定。

▲ 图1.1.1 已知微分方程的条件

二、求解过程

1、求解系统完全响应

首先，求解方程的完全响应。依次求解齐次解、特解、完全解。在求解完全解的过程中，通过奇异函数匹配方法确定系统的初始条件。第一小步，求微分方程的齐次解。根据方程左边结构，列写出特征方程。求出两个方程根。这样便可以得到系统的齐次解。其中带有两个待定系数：c1，c2。第二小步，求方程的特解。将系统的输入代入方程右边，化简可得方程输入函数，是个一次多项式。系数方程特解的一般形式。代入方程左边，进行相应的化简。得到对应的方程式，与方程右边进行对比。根据方程左右多项式系数平衡，可以得到两个方程。求解该方程。得到 ab 取值。最终可以得到特解的形式。将齐次解与特解合并之后，便可以得到系统的完全解。

▲ 图1.2.1 “三部曲”方法求解微分方程

完全解中带有两个待定系数，c1 和 c2。这需要应用到在 0 正时刻对应的两个初始条件。题目中已经给出 0 负时间的取值。需要通过分析系统在 0 时刻的变化获得 0 正时刻的取值。根据方程的输入信号经过化简，得到方程右边的跳变，对应方程左边最高项，也存在跳变。它的低阶导数中则就不存在跳变，这说明 r(t) 以及它的导数在 0 时刻保持连续。这样便可以得到 0 正时刻对应的初始条件了。将这两个初始条件，代入完全解，可以得到 c1,c2 对应的两个方程，通过求解，得到它们的取值。将它们代入完全接，便可以获得最终的系统完全解。这是题目第一问，完全响应的结果。

2、求解结果分析

经过求解，获得了系统的完全响应。下面对求解进行解释。分析其中的零输入、零状态响应；自由响应、强迫响应，瞬态和稳定响应等。。

下面分析方程的零输入零状态响应。根据定义，零输入响应只包含齐次解。此时系统输出在 0 时刻没有跳变。根据这些条件，可以求齐次解中两个待定系数。列写出两个待定系数方程，求解之后，便可以得到零输入响应的表达式。对于系统的零状态响应，可以通过完全解减去零输入响应获得，通过求解，可以得到零状态响应的表达式。

▲ 图1.2.2 零输入和零状态响应

完全解中，前面两项是齐次解部分，对应系统的自由响应。后边两项特解部分，对应系统的强迫响应。根据它们变化形式也可以知道，自由响应也对应着系统的瞬态解，强迫响应对应系统的稳态解。

▲ 图1.2.3 系统的自由响应强迫响应

3、单位冲激响应

下面分析最后一问，求系统的单位冲激和单位阶跃响应。

单位冲激响应，是指输入信号为 delta(t)，初始状态为 0 时的系统输出。根据这些条件求解系统的输出。这个过程与前面求解系统完全解的过程基本上是一致的。根据前面求解过程，写出系统的齐次解。在 delta(t) 的作用下，方程的特解为 0。完全解就是齐次解。将输入信号 delta(t) 代入方程右边，可以看到右边的奇异函数。系统输出二阶导数，包含有 delta(t) 的一阶导数，写出它的一般形式，以及后面低阶导数项。将它们待物方程左边。化简后，得到方程左边在 0 负到 0 正之间的奇异函数。对比方程右边的奇异函数。根据对应项系数平衡方法，分别得到关于 abc 的三个方程组。通过求解，得到ab的取值。根据 a 等于 1，可以判断 h 0 正等于 1。根据 b 的取值，同样可以得到 h(t) 在 0 正时刻导数的取值。根据 0 正时刻初始条件，列写完全解待定系数方程组。求解后，便可以得方程的完全解。这是系统的单位冲激响应。

▲ 图1.2.4 系统的单位冲激响应

单位阶跃响应，与单位冲激响应的区别是输入信号变成单位阶跃信号。求解过程相同。它们齐次解的形式是相同的。在单位阶跃信号作用下，系统输入为常量。特解也是常量。将常量 D 代入方程左边，可以求解 D。 D 等于 0.5。单位冲激响应的完全解中有两个待定系数。下面利用奇异函数匹配方法来确定系统的初始条件。根据方程右边的奇异函数的最高导数项，方程左边二阶导数包括有 delta(t) 。写出输出低阶导数对应的奇异函数。代入方程左边。进行简化之后，对照方程右边的奇异函数，便可以得到 ab 的方程组。根据 a 的取值，可以得到单位阶跃响应导数在 0 正时刻的取值。根据初始条件，代入完全解，便可以得到完全解中待定系数的方程。求解之后，便可以得到完全解。这是系统的单位阶跃响应。

▲ 单位阶跃响应

※ 总结 ※

本文对第三次作业中微分求解系统进行介绍。在求解过程中，利用了奇异函数匹配方法，获得系统初始条件，最终得到系统的完全解。

第三次作业：微分方程求解

■ 相关文献链接:

信号与系统 2023（春季）作业要求 - 第三次作业
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第三次作业：微分方程求解

● 相关图表链接:

图1.1.1 已知微分方程的条件
图1.2.1 “三部曲”方法求解微分方程
图1.2.2 零输入和零状态响应
图1.2.3 系统的自由响应强迫响应
图1.2.4 系统的单位冲激响应
单位阶跃响应

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第三次作业辅导视频：微分方程求解（1）

01 微分方程

一、前言

二、求解过程

1、求解系统完全响应

2、求解结果分析

3、单位冲激响应

※ 总结 ※

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※ 总 结 ※

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