Ｎewnode‘s NOI 模拟赛第二题（单调dp）

第二题

问题描述

样例输入 1

3 2
*#
#*
##

样例输出 1

2

样例输入 2

4 5
*####
*####
*####
#* * * #

样例输出 2

3

提示

对于20%的数据n,m<=5；
对于50%的数据满足n,m<=500；
对于100%的数据满足2<=n,m<=2000。

题意要求用每次消去正或反的Ｌ形的三个格子，消除所有的关键格子，需要的最小步数。
显然每一列只需要关心最上面一个关键格子的位置就行了。
因此令 A[i] A [ i ] A[i]表示第 i i i列最上面一个关键格子是从下往上数的第几个格子。

先考虑暴力的dp，令F[i][j]" role="presentation" style="position: relative;">F[i][j]F[i][j]F[i][j]表示前 i i i列，前i−1" role="presentation" style="position: relative;">i−1i−1i-1列已经消完，第 i i i列还需要消j" role="presentation" style="position: relative;">jjj个格子的最优步数。
那么转移的时候枚举第 i i i列消去了k" role="presentation" style="position: relative;">kkk个反Ｌ形，有

F[i][j]=min(F[i−1][k+2(A[i]−j−2k)]+k+A[i]−j−2k) F [ i ] [ j ] = m i n ( F [ i − 1 ] [ k + 2 ( A [ i ] − j − 2 k ) ] + k + A [ i ] − j − 2 k )

F[i][j]=min(F[i-1][k+2(A[i]-j-2k)]+k+A[i]-j-2k)
k+2(A[i]−j−2k) k + 2 ( A [ i ] − j − 2 k ) k+2(A[i]-j-2k)表示消去第 i i i行时，第i−1" role="presentation" style="position: relative;">i−1i−1i-1行会被消去的数量，也可以从 F[i−1] F [ i − 1 ] F[i-1]第二维更小的位置转移过来，但显然不会更优。另外， F[i][A[i]+1]−F[i][n] F [ i ] [ A [ i ] + 1 ] − F [ i ] [ n ] F[i][A[i]+1]-F[i][n]都赋值为 F[i−1][0] F [ i − 1 ] [ 0 ] F[i-1][0]

这个dp是 O(n3) O ( n 3 ) O(n^3)的，需要优化。

考虑一下每次转移时 F[i][j] F [ i ] [ j ] F[i][j]和 F[i][j+1] F [ i ] [ j + 1 ] F[i][j+1]分别在 k k k等于多少时取得最优值，一个结论是F[i][j+1]" role="presentation" style="position: relative;">F[i][j+1]F[i][j+1]F[i][j+1]取得最优值的 k k k一定小于等于F[i][j]" role="presentation" style="position: relative;">F[i][j]F[i][j]F[i][j]取得最优值的k，这个结论脑补一下就能理解。因为需要消去的块变少了，那么相应的操作数一定是不增的。

容易得到 F[i] F [ i ] F[i]是随着j变大而单调不增的。

再观察一下可以发现，在 j j j确定的时候，F[i−1][2A[i]−2j−3k]+A[i]−j−k" role="presentation" style="position: relative;">F[i−1][2A[i]−2j−3k]+A[i]−j−kF[i−1][2A[i]−2j−3k]+A[i]−j−kF[i-1][2A[i]-2j-3k]+A[i]-j-k的取值是单峰的。因为 F[i−1][2A[i]−2j−3k] F [ i − 1 ] [ 2 A [ i ] − 2 j − 3 k ] F[i-1][2A[i]-2j-3k]随k的减小是不增的， A[i]−j−k A [ i ] − j − k A[i]-j-k是单增的，因此它是单峰的。

那么我们得到了一个很好的性质，即 F[i][j] F [ i ] [ j ] F[i][j]的转移是单峰的，并且峰的位置是单调的。
因此我们就可以将枚举k的复杂度变成均摊 O(1) O ( 1 ) O(1)的了。只需要每次记录一下最优的k取值，讨论 j+1 j + 1 j+1时直接从这个最优取值开始，如果 k−1 k − 1 k-1不能更优就 break b r e a k break就行了。

总时间复杂度 O(n2) O ( n 2 ) O(n^2)

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 2005
using namespace std;
int n,m,F[N][N],A[N];
char map[N][N];
int main()
{int i,j,k,x,id;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++)scanf("\n%s",&map[i][1]);for(i=1;i<=m;i++){for(j=1;j<=n;j++)if(map[j][i]=='*')break;A[i]=n+1-j;}memset(F,60,sizeof(F));for(i=0;i<=n;i++)F[0][i]=0;for(i=1;i<=m;i++){id=A[i]>>1;for(j=0;j<=A[i];j++){id=min(id,A[i]-j>>1);for(k=id;k>=0;k--){x=k+(A[i]-j-2*k<<1);if(x>A[i-1])x=A[i-1];if(F[i][j]>=F[i-1][x]+A[i]-j-k)id=k,F[i][j]=F[i-1][x]+A[i]-j-k;else break;}}for(j=A[i]+1;j<=n;j++)F[i][j]=F[i-1][0];}printf("%d",F[m][0]);
}

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