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定义：

The 'i' in the 'Nth root of unity' 是虚数单位

调用：

1. Y = fft（y）;

2. Y = fft（y，N）;

式中，y是序列，Y是序列的快速傅里叶变换。y可以是一向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。若y为一矩阵，则Y是对矩阵的每一列向量进行FFT。

说明：

1. 函数fft返回值的数据结构具有对称性

根据采样定理，fft能分辨的最高频率为采样频率的一半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前一半与后一半是复数共轭关系。

2. 幅值

作FFT分析时，幅值大小与输入点数有关，要得到真实的幅值大小，只要将变换后的结果乘以2除以N即可（但此时零频—直流分量—的幅值为实际值的2倍）。对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱（零频在双边谱中本没有被一分为二，而转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放大了）。

3. 基频

若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:N-1]*f0

4. 执行N点FFT

在调用格式2中，函数执行N点FFT。若y为向量且长度小于N，则函数将y补零至长度N，若向量y的长度大于N，则函数截断y使之长度为N。

注意：

使用N点FFT时，若N大于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意。

例子：

将对N点FFT进行举例，说明当N大于向量y的长度时给频谱分析带来的变化。

上图中，左列为信号时域图形，右列为对应信号的频谱图。可以看出当N大于向量y的长度时，由于fft自动将100s后的信号值补零，原信号实际变为左下角的时域图形，所以频率发生了变化（增加多种频率的小振幅振动，主峰幅值被削弱）。

结论：

使用N点FFT时，不应使N大于y向量的长度，否则将导致频谱失真。

例子程序：

clear all %清除内存所有变量

close all %关闭所有打开的图形窗口

%% 执行FFT点数与原信号长度相等（100点）

% 构建原信号

N=100; % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1; % 采样频率

dt=1/Fs; % 采样间隔

t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

subplot(3,2,1) % 变量@@@@@@@

plot(t,xn) % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)') % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=N; % 执行100点FFT

XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt*NN); % 基频

f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

A=abs(XN); % 幅值序列

subplot(3,2,2),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

title('执行点数等于信号长度(单边谱100执行点)'); % 变量@@@@@@@

%% 执行FFT点数大于原信号长度

% 构建原信号

N=100; % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1; % 采样频率

dt=1/Fs; % 采样间隔

t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

subplot(3,2,3) % 变量@@@@@@@

plot(t,xn) % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)') % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=120; % 执行120点FFT（变量@@@@@@@）

XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt*NN); % 基频

f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

A=abs(XN); % 幅值序列

subplot(3,2,4),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

title('执行点数大于信号长度(单边谱120执行点)'); % 变量@@@@@@@

%% 执行FFT点数与原信号长度相等（120点）

% 构建原信号

N=120; % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1; % 采样频率

dt=1/Fs; % 采样间隔

t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

subplot(3,2,5) % 变量@@@@@@@

plot(t,xn) % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为120)') % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=120; % 执行120点FFT（变量@@@@@@@）

XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt*NN); % 基频

f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

A=abs(XN); % 幅值序列

subplot(3,2,6),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

title('执行点数等于信号长度(单边谱120执行点)'); % 变量@@@@@@@

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MATLAB快速傅里叶变换（fft）函数详解

调用：

说明：

1. 函数fft返回值的数据结构具有对称性

2. 幅值

3. 基频

4. 执行N点FFT

注意：

例子：

结论：

例子程序：

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