Matlab快速傅里叶变换程序（FFT）编写

（不利用Matlab内置fft）

最近在学习数字信号处理，正好到快速傅里叶变换，写一个基于基2FFT算法的傅里叶变换。利用原理：DIT-FFT（时域抽取法基2FFT）。
DIT-FFT：
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2^M，M为自然数。
①按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2的子序列。
②对x(n)做DFT，经过化简可以得到
X(k)=X1(k)+W^k;
X(k+N/2)=X1(k)+W^kX2(k);
k=0,1,…,N/2-1;
由此得到一个蝶形运算符号：

③这是DIT-FFT基本原理，按照N值的大小，还可进一步进行分解运算，可分解M次，将N点DFT分解为N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列本身。
DFT与FFT运算量比较：
N点DFT：复数乘法CM=NN
复数加法CA=N(N-1)
N点FFT：复数乘法CM=MN/2
复数加法CA=MN
N=2^M
代码：

function H=ditfft2(xn,M)
%DIT-FFT快速傅里叶变换程序
%程序名称：ditfft
%程序作者：grace_fight 2018/10/29b=length(xn);                %调整补零
if(b<2^M)xn=[xn,zeros(1,(2^M)-b)];
end
b=length(xn);                %补零后xn长度
A=zeros(1,b);                %xn转换数组
N=2^M;                       %计算点数
nxd=bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,M)))+1;%倒序排列序号
xn=xn(nxd);                               %倒序xn
for i=1:N                                 %N个1点DFT，xn本身，赋值到数组AA(i)=xn(i);
end
for L = 1:M                               %DIT-FFT变换，M级蝶形变换B = 2^(L-1);                          %两个输入数据距离for J = 0:B-1;                        %旋转因子处理P=2^(M-L)*J;for k=(J+1):2^L:N;                %本次蝶形运算跨越时间W=exp(-j*2*pi*P/N);           %对应旋转因子T=A(k)+A(k+B)*W;              %进行蝶形运算A(k+B)=A(k)-A(k+B)*W;A(k)=T;endend
end
H=A;                                      %输出H为A

测试代码：

%测试程序
clear;                      %清屏
clc;
xn=[1 1 1 1];               %要转换的序列
M=5;                        %转换级数
B=fft(xn,32);               %matlab内置fft变换，用于对比
subplot(2,1,1);             %内置fft变换图像
[a1,b1]=size(B);
o1=1:b1;                    %内置fft变换坐标
stem(o1,abs(B),'.');        %绘图
H=ditfft2(xn,M);            %手工编写ditfft2函数
subplot(2,1,2);             %绘制手工编写的fft图像
[a1,b2]=size(H);
o2=1:b2;                    %ditfft2变换坐标
stem(o2,abs(H),'.')         %绘图

运行结果：

参考：《数字信号处理第四版》高西全丁玉美

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